ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُكتب الدالة التربيعية في صيغتها القياسية على الشكل \(f(x) = ax^2 + bx + c\). ويكون تمثيلها البياني قطعًا مكافئًا، وأهم نقطة على هذا القطع هي الرأس — وهي أعلى نقطة إذا كان القطع مفتوحًا للأسفل (عندما \(a < 0\))، أو أدنى نقطة إذا كان مفتوحًا للأعلى (عندما \(a > 0\)). تحوّل هذه الأداة معاملات الصيغة القياسية مباشرةً إلى إحداثيات الرأس \((h, k)\) دون الحاجة إلى إكمال المربع يدويًا.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\) الخاصة بدالتك التربيعية. يجب ألا تكون قيمة \(a\) مساوية للصفر (وإلا تصبح المعادلة خطية وليست تربيعية). انقر على زر الحساب لتحصل فورًا على الإحداثي السيني \(h\)، والإحداثي الصادي \(k\)، ومحور التماثل \(x = h\).
شرح الصيغة الرياضية
نحصل على الإحداثي السيني للرأس من العلاقة \(h = -b / (2a)\)، وهو يمثّل خط تماثل القطع المكافئ. وبتعويض قيمة \(h\) في الدالة نحصل على الإحداثي الصادي، الذي يُختزل إلى \(k = c - b^2 / (4a)\). وبذلك تكون النقطة \((h, k)\) هي الرأس، ويمكن إعادة كتابة المعادلة في صيغة الرأس على الشكل
$$\left(h,\,k\right) = \left( -\frac{b}{2\,a},\ \ c - \frac{b^{2}}{4\,a} \right)$$\(f(x) = a(x - h)^2 + k\).
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)، حيث \(a = 1\) و\(b = -6\) و\(c = 5\). إذًا
$$h = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3$$وكذلك
$$k = 5 - (-6)^2 / (4 \times 1) = 5 - 36/4 = 5 - 9 = -4$$ومن ثَمّ يكون الرأس عند النقطة \((3, -4)\)، ويكون محور التماثل هو \(x = 3\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت قيمة \(a\) سالبة؟ تنطبق الصيغ نفسها تمامًا؛ غير أن القطع المكافئ ينفتح للأسفل، فيصبح الرأس نقطة القيمة العظمى بدلًا من القيمة الصغرى.
ماذا يمثّل \(k\)؟ إنه القيمة الصغرى (أو العظمى) للدالة — أي أقصى قيمة صادية تبلغها الدالة التربيعية.
هل يمكن أن تساوي \(a\) صفرًا؟ لا. إذا كانت \(a = 0\) تصبح الدالة خطية ولا يكون لها رأس؛ ولذلك تشترط الحاسبة أن تكون قيمة \(a\) مختلفة عن الصفر.
