이 계산기의 기능
표준형 이차함수는 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 형태로 나타냅니다. 이 함수의 그래프는 포물선이며, 포물선에서 가장 중요한 한 점이 바로 꼭짓점입니다. 포물선이 아래로 볼록할 때(\(a < 0\))는 꼭짓점이 가장 높은 점, 위로 볼록할 때(\(a > 0\))는 가장 낮은 점이 됩니다. 이 도구는 완전제곱식으로 손수 변형하지 않아도 표준형의 계수를 꼭짓점 좌표 \((h, k)\)로 바로 변환해 줍니다.
사용 방법
이차함수의 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 단, \(a\)는 0이 될 수 없습니다(0이면 이차함수가 아니라 일차함수가 됩니다). 계산 버튼을 누르면 x좌표 \(h\), y좌표 \(k\), 그리고 대칭축 \(x = h\)가 즉시 표시됩니다.
공식 풀이
꼭짓점의 x좌표는 \(h = -b / (2a)\)로 구합니다. 이 값이 바로 포물선의 대칭축입니다. 이 \(h\)를 함수에 다시 대입하면 y좌표가 나오는데, 정리하면 \(k = c - b^2 / (4a)\)가 됩니다. 이 둘을 합친 \((h, k)\)가 꼭짓점이며, 식은 꼭짓점 형태 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\)로 다시 쓸 수 있습니다.
$$\left(h,\,k\right) = \left( -\frac{b}{2\,a},\ \ c - \frac{b^{2}}{4\,a} \right)$$
예제 풀이
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\)라고 하면 \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)입니다. 그러면 \(h = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3\)이 됩니다. 또한 \(k = 5 - (-6)^2 / (4 \times 1) = 5 - 36/4 = 5 - 9 = -4\)입니다. 따라서 꼭짓점은 \((3, -4)\)이고, 대칭축은 \(x = 3\)입니다.
자주 묻는 질문
a가 음수이면 어떻게 되나요? 공식은 동일하게 적용됩니다. 다만 포물선이 아래로 볼록해지므로, 꼭짓점이 최솟값이 아니라 최댓값이 됩니다.
k는 무엇을 의미하나요? 함수의 최솟값(또는 최댓값)을 뜻합니다. 즉, 이차함수가 도달할 수 있는 극값에 해당하는 y값입니다.
a가 0이 될 수 있나요? 안 됩니다. \(a = 0\)이면 함수가 일차함수가 되어 꼭짓점이 존재하지 않습니다. 이 계산기는 0이 아닌 \(a\) 값을 필요로 합니다.
