यह कैलकुलेटर क्या करता है
मानक रूप में लिखा गया द्विघात फलन इस तरह होता है: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)। इसका ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है, और इस परवलय का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु होता है उसका शीर्ष (vertex) — अगर परवलय नीचे की ओर खुलता है (\(a < 0\)) तो यह सबसे ऊँचा बिंदु होता है, और अगर ऊपर की ओर खुलता है (\(a > 0\)) तो यह सबसे निचला बिंदु होता है। यह टूल मानक रूप के गुणांकों को सीधे शीर्ष के निर्देशांक \((h, k)\) में बदल देता है — आपको हाथ से वर्ग पूरा (completing the square) करने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने द्विघात समीकरण के तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। ध्यान रहे कि \(a\) का मान शून्य नहीं होना चाहिए (वरना समीकरण द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक हो जाएगा)। "गणना करें" पर क्लिक करते ही आपको x-निर्देशांक \(h\), y-निर्देशांक \(k\), और सममिति अक्ष \(x = h\) तुरंत मिल जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
शीर्ष का x-निर्देशांक इस सूत्र से मिलता है: $$h = -\frac{b}{2a}$$ यही परवलय की सममिति रेखा भी होती है। इस \(h\) को वापस फलन में रखने पर y-निर्देशांक मिलता है, जो सरल होकर बनता है: $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$ दोनों मिलकर \((h, k)\) शीर्ष बनाते हैं, और समीकरण को शीर्ष रूप (vertex form) में इस तरह दोबारा लिखा जा सकता है: $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), यानी \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)। तो $$h = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$$ और $$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4 \times 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$ इस तरह शीर्ष है \((3, -4)\), और सममिति अक्ष है \(x = 3\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर a ऋणात्मक हो तो? वही सूत्र लागू होते हैं; बस परवलय नीचे की ओर खुलता है, इसलिए शीर्ष न्यूनतम के बजाय अधिकतम बिंदु बन जाता है।
k किसे दर्शाता है? यह फलन का न्यूनतम (या अधिकतम) मान होता है — वह चरम y-मान जहाँ तक द्विघात फलन कभी पहुँचता है।
क्या a शून्य हो सकता है? नहीं। अगर \(a = 0\) हो तो फलन रैखिक हो जाता है और उसका कोई शीर्ष नहीं होता; इसलिए कैलकुलेटर के लिए \(a\) का शून्येतर (nonzero) होना ज़रूरी है।
