Что делает этот калькулятор
Квадратичная функция в стандартном виде записывается как \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Её график — это парабола, и самая важная точка на ней — вершина. Если ветви параболы направлены вниз (\(a < 0\)), вершина — это наивысшая точка; если вверх (\(a > 0\)) — наинизшая. Калькулятор сразу переводит коэффициенты стандартного вида в координаты вершины \((h, k)\), избавляя вас от необходимости вручную выделять полный квадрат.
Как пользоваться
Введите три коэффициента — \(a\), \(b\) и \(c\) — из вашего квадратного уравнения. Значение \(a\) не должно быть равно нулю (иначе уравнение становится линейным, а не квадратным). Нажмите «Рассчитать» и мгновенно получите x-координату \(h\), y-координату \(k\) и ось симметрии \(x = h\).
Разбор формулы
x-координата вершины находится по формуле \(h = -b / (2a)\). Это и есть ось симметрии параболы. Подставив \(h\) обратно в функцию, получаем y-координату, которая упрощается до \(k = c - b^2 / (4a)\). Вместе \((h, k)\) образуют вершину, а уравнение можно переписать в вершинной форме: \(f(x) = a(x - h)^2 + k\).
$$\left(h,\,k\right) = \left( -\frac{b}{2\,a},\ \ c - \frac{b^{2}}{4\,a} \right)$$
Разбор примера
Возьмём \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), то есть \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Тогда $$h = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3.$$ А $$k = 5 - (-6)^2 / (4 \times 1) = 5 - 36/4 = 5 - 9 = -4.$$ Вершина — это точка \((3, -4)\), а ось симметрии — прямая \(x = 3\).
Частые вопросы
А если a отрицательное? Формулы те же самые; парабола просто раскрывается вниз, поэтому вершина становится точкой максимума, а не минимума.
Что означает k? Это минимальное (или максимальное) значение функции — крайнее значение y, которого достигает квадратичная функция.
Может ли a быть равным нулю? Нет. При \(a = 0\) функция становится линейной и вершины не имеет; калькулятор требует ненулевого значения \(a\).
