Что делает этот калькулятор
Этот инструмент переводит квадратичную функцию из стандартного вида \(ax^{2}+bx+c\) в вершинную форму \(a(x-h)^{2}+k\) с помощью выделения полного квадрata. Вершинная форма удобна тем, что сразу показывает вершину \((h, k)\) — точку перегиба параболы — и наглядно отражает преобразования графика.
Как пользоваться
Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего квадратного уравнения. Калькулятор вычислит \(h\) и \(k\) и перепишет выражение в вершинной форме. Коэффициент \(a\) остаётся одинаковым в обоих видах — меняется лишь способ группировки остальных слагаемых.
Разбор формулы
При выделении полного квадрата мы выносим \(a\) за скобки в первых двух слагаемых и добавляем слагаемое, превращающее выражение в точный квадрат. В итоге получаются компактные формулы $$h = \frac{-b}{2a}$$ и $$k = c - \frac{b^{2}}{4a}.$$ Поскольку \(a\) не меняется, полная вершинная форма выглядит так: $$y = a(x-h)^{2}+k.$$ Вершина \((h, k)\) — это минимум при \(a > 0\) и максимум при \(a < 0\).
Пример с решением
Возьмём \(y = x^{2} - 6x + 5\), то есть \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Тогда $$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3,$$ а $$k = 5 - \frac{(-6)^{2}}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4.$$ Значит, вершинная форма — это \(y = (x - 3)^{2} - 4\) с вершиной в точке \((3, -4)\).
Частые вопросы
А если \(a = 0\)? Тогда это уже не квадратное уравнение, а линейное — параболы и вершины здесь нет.
Всегда ли \(k\) — это минимум? \(k\) является наименьшим значением \(y\) при положительном \(a\) и наибольшим при отрицательном \(a\).
Меняется ли \(a\) при переходе между формами? Нет. Старший коэффициент \(a\) одинаков и в стандартной, и в вершинной форме.
