Калькулятор минимума и максимума квадратичной функции

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Minimum Value

-1

occurs at x = 2

Вершина x* = −b/(2a)	2
Значение в вершине = c − b²/(4a)	-1
Тип	Minimum (opens upward, a > 0)1

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент находит точку перегиба (вершину) квадратичной функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\) и определяет её минимальное или максимальное значение. Если коэффициент \(a\) положительный, ветви параболы направлены вверх, а вершина — самая нижняя точка, то есть минимум. Если \(a\) отрицательный, ветви направлены вниз, и вершина становится самой высокой точкой — максимумом. Калькулятор работает с любыми действительными коэффициентами при условии, что \(a\) не равно нулю.

Как пользоваться

Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего уравнения, записанного в стандартном виде \(ax^2 + bx + c\). Калькулятор покажет x-координату вершины, экстремальное значение (y-координату) и укажет, является ли оно минимумом или максимумом. Если случайно задать \(a = 0\), выражение станет линейным, а не квадратичным, и калькулятор попросит ввести ненулевое значение \(a\).

Разбор формулы

Вершина лежит на оси симметрии, которую находят, приравнивая производную к нулю: \(x^* = -b/(2a)\). Подставив это значение обратно в функцию и упростив, получаем экстремум напрямую:

$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$

Алгебраически это то же самое, что и выделение полного квадрата, при котором квадратичная функция переписывается в виде \(a(x - x^*)^2 + \text{значение}\).

Реклама

При \(a>0\) вершина является минимумом; при \(a<0\) — максимумом, расположенным в точке \(x = -b/(2a)\).

Пример с решением

Возьмём \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), то есть \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Вершина: \(x^* = -(-4)/(2\cdot 1) = 2\). Минимальное значение:

$$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$

Поскольку \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(-1\) — это минимум, достигаемый при \(x = 2\).

Разобранный пример: вершина даёт и положение по x, и экстремальное значение y квадратичной функции.

Частые вопросы

Это минимум или максимум? Это минимум, когда \(a > 0\) (ветви вверх), и максимум, когда \(a < 0\) (ветви вниз).

Что если \(a\) равно 0? Тогда функция становится линейной и не имеет вершины — введите ненулевое значение \(a\).

Даёт ли это область значений функции? Да: при \(a > 0\) область значений равна \([\text{значение}, \infty)\); при \(a < 0\) — \((-\infty, \text{значение}]\).