이 계산기의 기능
이 도구는 이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)의 변곡점, 즉 꼭짓점을 찾아 그 최솟값 또는 최댓값을 알려 줍니다. a가 양수이면 포물선이 위로 볼록(아래로 열린 것이 아니라 위쪽으로 벌어진 모양)하여 꼭짓점이 가장 낮은 지점이 되므로 최솟값을 가집니다. 반대로 a가 음수이면 포물선이 아래로 볼록하여 꼭짓점이 가장 높은 지점, 즉 최댓값이 됩니다. a가 0이 아닌 한 어떤 실수 계수에도 적용됩니다.
사용 방법
표준형 \(ax^2 + bx + c\)로 정리한 식에서 세 계수 a, b, c를 입력하세요. 계산기는 꼭짓점의 x좌표, 극값(y좌표), 그리고 그 값이 최솟값인지 최댓값인지를 알려 줍니다. 만약 \(a = 0\)으로 입력하면 식이 일차식이 되어 이차함수가 아니므로, 0이 아닌 a를 입력하라는 안내가 표시됩니다.
공식 설명
꼭짓점은 대칭축 위에 있으며, 도함수를 0으로 두면 \(x^* = -b/(2a)\)로 구할 수 있습니다. 이 값을 다시 함수에 대입해 정리하면 극값은 곧바로 다음과 같이 나옵니다.
$$y_{vertex} = \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}$$이는 이차식을 \(a(x - x^*)^2 + 값\) 형태로 바꾸는 완전제곱식(평방완성)과 대수적으로 완전히 같은 결과입니다.
예제 풀이
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)을 살펴보면 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 꼭짓점 \(x^* = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2\)입니다.
$$\text{최솟값} = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$\(a > 0\)이므로 포물선이 위로 벌어지고, 따라서 \(-1\)은 \(x = 2\)에서 얻어지는 최솟값입니다.
자주 묻는 질문
결과가 최솟값인가요, 최댓값인가요? \(a > 0\)(위로 벌어짐)이면 최솟값, \(a < 0\)(아래로 벌어짐)이면 최댓값입니다.
a가 0이면 어떻게 되나요? 그 경우 함수는 일차함수가 되어 꼭짓점이 없습니다. 0이 아닌 a를 입력하세요.
함수의 치역(범위)도 알 수 있나요? 네. \(a > 0\)이면 치역은 \([값, \infty)\)이고, \(a < 0\)이면 \((-\infty, 값]\)입니다.
