기댓값이란?
이산확률변수의 기댓값(평균 또는 기대치라고도 합니다)은 같은 실험을 아주 여러 번 반복했을 때 평균적으로 기대할 수 있는 결과를 뜻합니다. 각 결과값에 그 확률을 곱한 뒤 모두 더하면 구할 수 있죠. 이 계산기는 결과값과 그에 대응하는 확률 목록만 있으면 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\) 공식을 그대로 적용해 줍니다.
계산기 사용법
결과값을 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 10, 20, 30). 그리고 같은 순서로 각 결과에 해당하는 확률을 입력합니다(예: 0.5, 0.3, 0.2). 같은 위치에 있는 값과 확률이 한 쌍으로 짝지어집니다. 계산기는 기댓값과 함께 사용된 항의 개수, 그리고 확률의 합계를 보여 주므로, 분포가 올바른지(합이 1이 되어야 합니다) 바로 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$는 각 결과값 \(x_i\)에 그 확률 \(p_i\)를 곱한 다음, 모든 결과에 대해 더하라는 뜻입니다. 값이 크면서 확률도 높은 결과일수록 기댓값에 더 큰 영향을 줍니다. 만약 확률의 합이 1이 아니라면, 그 결과는 엄밀히 말해 진짜 기댓값이 아니라 가중합에 가깝습니다. 이럴 때는 '확률의 합' 항목을 확인해 보세요.
예제로 풀어보기
어떤 게임에서 0달러, 5달러, 20달러를 각각 확률 0.5, 0.3, 0.2로 받는다고 해 봅시다. 그러면 $$E(X) = (0 \times 0.5) + (5 \times 0.3) + (20 \times 0.2) = 0 + 1.5 + 4 = 5.5$$가 됩니다. 즉, 한 판당 기대 수익은 5.50달러입니다.
자주 묻는 질문
확률의 합이 꼭 1이어야 하나요? 올바른 확률분포라면 그렇습니다. 합이 1이 아니어도 계산기는 가중합을 구해 주며, 합계를 함께 표시해 주므로 직접 조정할 수 있습니다.
결과값이 음수여도 되나요? 됩니다. 손실이나 마이너스 수익은 음수로 입력하면 되며, 도박이나 금융 예시에서 흔히 쓰입니다.
값과 확률의 개수가 다르면 어떻게 되나요? 계산기는 위치에 따라 항목을 짝지으며, 더 짧은 목록의 개수만큼만 쌍을 사용해 계산합니다.
