Z-점수에서 구하는 P값이란?
Z-점수는 어떤 관측값이 표준정규분포의 평균으로부터 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다. P값은 이 Z-점수를 확률로 바꿔 줍니다. 즉, 귀무가설이 참이라고 가정했을 때 이렇게 극단적인 결과가 관측될 가능성이 얼마나 되는지를 보여 주는 값이죠. 이 계산기는 임의의 Z-점수를 양측 검정, 좌측 검정, 우측 검정에 해당하는 P값으로 변환합니다.
계산기 사용 방법
Z-점수(양수든 음수든 상관없습니다)를 입력하고 검정 유형을 선택하세요. 양측 검정은 어느 방향으로든 차이가 있는지를 확인하고, 좌측 검정과 우측 검정은 특정 한 방향으로의 차이만 확인합니다. 계산 버튼을 누르면 P값과 함께 누적확률 \(\Phi(z)\)가 표시됩니다.
공식 풀이
핵심이 되는 것은 표준정규 누적분포함수 \(\Phi(z)\)로, 종 모양 곡선에서 z 왼쪽 영역의 넓이를 알려 줍니다. 이 값은 오차함수를 이용해 다음과 같이 계산됩니다.
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$양측 검정에서는 위쪽 꼬리 넓이를 두 배로 만들어 구합니다.
$$p = 2\left(1 - \Phi(|z|)\right)$$우측 검정과 좌측 검정은 각각 다음과 같습니다.
$$p_{right} = 1 - \Phi(z),\quad p_{left} = \Phi(z)$$이 도구는 Abramowitz & Stegun 7.1.26 근사식으로 \(\operatorname{erf}\)를 계산하며, 소수점 약 7자리까지 정확합니다.
예제로 알아보기
\(z = 1.96\)이고 양측 검정을 한다고 가정해 봅시다. \(\Phi(1.96) \approx 0.9750\)이므로 \(1 - \Phi(1.96) \approx 0.0250\)이 되고, 다음과 같습니다.
$$p = 2 \times 0.0250 = 0.05$$이것이 바로 고전적인 95% 신뢰수준의 기준값입니다. 즉, \(z = 1.96\)은 우리에게 익숙한 유의수준 \(\alpha = 0.05\) 경계선에 해당합니다.
자주 묻는 질문
단측과 양측 중 무엇을 써야 하나요? 데이터를 수집하기 전에 방향이 정해진 구체적인 가설이 있는 경우가 아니라면 양측 검정을 사용하세요.
Z-점수가 음수이면 어떻게 되나요? 양측 검정에서는 절댓값을 취하기 때문에 부호가 결과에 영향을 주지 않습니다. 단측 검정에서는 부호가 어느 쪽 꼬리를 검정하는지를 결정합니다.
결과는 얼마나 정확한가요? \(\operatorname{erf}\) 근사식은 소수점 약 7자리까지 정확하므로, 실제 가설 검정에 사용하기에는 충분하고도 남습니다.
