Qu'est-ce qu'une p-value issue d'un score Z ?
Le score Z indique de combien d'écarts-types une observation s'éloigne de la moyenne d'une loi normale centrée réduite. La p-value traduit ce score en probabilité : quelle est la chance d'obtenir un résultat aussi extrême si l'hypothèse nulle était vraie ? Ce calculateur convertit n'importe quel score Z en sa p-value correspondante, pour un test bilatéral, unilatéral à gauche ou unilatéral à droite.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre score Z (positif ou négatif) puis choisissez le type de test. Un test bilatéral détecte une différence dans l'une ou l'autre direction ; les tests unilatéral à gauche et unilatéral à droite recherchent un écart dans une direction précise. Cliquez sur Calculer pour obtenir la p-value ainsi que la probabilité cumulée \(\Phi(z)\).
La formule expliquée
La brique de base est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, \(\Phi(z)\), qui donne l'aire sous la courbe en cloche à gauche de \(z\). Elle se calcule à partir de la fonction d'erreur :
$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\cdot\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$Pour un test bilatéral, on double l'aire de la queue supérieure :
$$p = 2\left(1 - \Phi(|z|)\right)$$Pour un test unilatéral à droite, \(p = 1 - \Phi(z)\), et pour un test unilatéral à gauche, \(p = \Phi(z)\). Cet outil évalue \(\operatorname{erf}\) à l'aide de l'approximation 7.1.26 d'Abramowitz et Stegun, précise à environ 7 décimales.
Exemple concret
Supposons \(z = 1{,}96\) dans le cadre d'un test bilatéral. \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}9750\), donc \(1 - \Phi(1{,}96) \approx 0{,}0250\), et
$$p = 2 \times 0{,}0250 = 0{,}05$$C'est exactement le seuil correspondant au classique niveau de confiance de 95 % : un \(z\) de 1,96 renvoie au célèbre seuil \(\alpha = 0{,}05\).
FAQ
Test unilatéral ou bilatéral ? Optez pour le test bilatéral, sauf si vous avez formulé une hypothèse directionnelle précise avant de recueillir vos données.
Que faire si mon score Z est négatif ? Pour un test bilatéral, le signe n'a aucune importance puisque l'on prend la valeur absolue. Pour un test unilatéral, le signe détermine la queue que vous testez.
Quelle est la précision du résultat ? L'approximation de \(\operatorname{erf}\) offre environ 7 décimales exactes, ce qui est largement suffisant pour tout test d'hypothèse en pratique.
