Z値から求めるP値とは？
Z値（z-score）は、ある観測値が標準正規分布の平均から標準偏差いくつ分だけ離れているかを表す指標です。一方、P値はそのZ値を確率に変換したもので、「帰無仮説が正しいと仮定したとき、これほど極端な結果が得られる確率」を意味します。この計算ツールを使えば、任意のZ値を両側検定・左側検定・右側検定それぞれに対応するP値へ変換できます。
このツールの使い方
まずZ値（正でも負でも構いません）を入力し、検定の種類を選びます。両側検定はどちらの方向の差も検出する検定で、左側検定・右側検定は特定の一方向の差だけを検出する検定です。計算ボタンを押すと、P値に加えて累積確率\(\Phi(z)\)も表示されます。
計算式の解説
計算の中核となるのは、標準正規分布の累積分布関数\(\Phi(z)\)です。これは正規分布（ベルカーブ）のうち、zより左側の面積を表します。誤差関数を用いて次のように求められます：$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$$両側検定では上側の裾の面積を2倍し、$$p = 2\left(1 - \Phi(|z|)\right)$$ となります。右側検定では \(p = 1 - \Phi(z)\)、左側検定では \(p = \Phi(z)\) です。本ツールでは、Abramowitz & Stegun の式 7.1.26 による近似でerfを計算しており、小数点以下およそ7桁の精度があります。
計算例
たとえば\(z = 1.96\)で両側検定を行う場合を考えましょう。\(\Phi(1.96) \approx 0.9750\) なので、\(1 - \Phi(1.96) \approx 0.0250\) となり、$$p = 2 \times 0.0250 = 0.05$$ です。これはおなじみの95%信頼水準のちょうど境界値にあたります。つまり、Z値1.96は有意水準\(\alpha = 0.05\)の基準と一致するのです。
よくある質問
片側検定と両側検定のどちらを使うべき？ データを集める前に明確な方向性の仮説を立てている場合を除き、基本的には両側検定を使いましょう。
Z値が負の値の場合は？ 両側検定では絶対値を取るため、符号は関係ありません。片側検定では、符号がどちらの裾を検定するかを決めます。
結果の精度はどのくらい？ erfの近似により小数点以下およそ7桁まで正確で、実用的な仮説検定であればこれで十分すぎる精度です。
