Zスコアとは？
Zスコア（標準得点とも呼ばれます）は、あるデータ点が分布の平均から標準偏差いくつ分だけ上または下に離れているかを表す指標です。Zスコアがプラスならその値は平均より上、マイナスなら平均より下にあることを意味します。Zスコアが0のときは、その値がちょうど平均と一致していることを示します。Zスコアは、まったく異なる尺度の値どうしを同じ土俵で比較できるようにするため、統計学のあらゆる場面で使われています。
この計算ツールの使い方
3つの数値を入力してください。評価したい元の値（\(x\)）、母平均（\(\mu\)）、そして母標準偏差（\(\sigma\)）です。入力すると、Zスコアと偏差（\(x - \mu\)）がすぐに表示されます。なお、0で割ることは定義できないため、標準偏差に0を入れることはできません。
計算式の解説
標準得点は次のように定義されます。
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
まず値から平均を引いて偏差を求め、それを標準偏差で割ることで、偏差を「標準偏差何個分か」という単位で表します。この変換によって、平均0・標準偏差1の分布が得られます。元のデータが正規分布に従う場合、これを標準正規分布と呼びます。
計算例
たとえば、あるテストで生徒が85点を取り、クラスの平均が70点、標準偏差が10だったとします。このとき $$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$$ となります。つまりこの生徒は平均より標準偏差1.5個分だけ高い得点を取っており、点数が正規分布に従うと仮定すれば、受験者のおよそ93%を上回る成績ということになります。
よくある質問
Zスコアがマイナスの場合は何を意味しますか？その値が平均より下にあることを意味します。たとえばZスコアが\(-2\)なら、平均より標準偏差2個分だけ下に位置しています。
「良い」Zスコアとはどのくらいですか？状況によって異なりますが、\(\pm 2\)や\(\pm 3\)を超える値は、分布の裾の部分に当たるため、珍しい（異常な）値とみなされます。
標本標準偏差と母標準偏差のどちらを使うべきですか？古典的なZスコアでは母標準偏差（\(\sigma\)）を用います。手元に標本しかない場合は、標本標準偏差を推定値として代用することもできますが、結果の解釈には注意が必要です。
