パーセンタイルからZスコアを求める計算機とは？
このツールは、パーセンタイルを標準正規分布（平均0、標準偏差1）における対応するZスコアへ変換します。Zスコアとは、ある値が平均からどれだけ標準偏差ぶん上または下に位置しているかを示す数値です。パーセンタイルは「ある地点より下にデータが何割あるか」を表すため、Zスコアを求めるには正規累積分布関数の逆関数（\(\Phi^{-1}\)と表記）が必要になります。
使い方
0から100までのパーセンタイルを入力します。たとえば90なら「全体の90%がこの地点より下にある」という意味です。計算機はそのZスコアを返します。50未満のパーセンタイルは負のZスコア（平均より下）になり、ちょうど50なら0、50を超えると正のZスコアになります。
計算式の解説
pをパーセンタイル÷100とすると、$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$ で求められます。ここで\(\Phi\)は標準正規分布の累積分布関数です。\(\Phi^{-1}\)には簡単な閉じた式が存在しないため、この計算機ではAcklam（アックラム）の有理関数近似を用いています。これは全範囲にわたっておよそ\(1\times10^{-9}\)の精度を持ちます。
計算例
97.5パーセンタイルのZスコアを求めたいとします。\(p = 0.975\)とすると、逆正規累積分布関数は \(z \approx 1.9600\) を返します。これは95%信頼区間で使われるおなじみの臨界値です（両側にそれぞれ2.5%ずつ入るため）。
よくある質問
50パーセンタイルのZスコアはいくつですか？ ちょうど0です。正規分布の中央値は平均と一致するためです。
なぜ0や100を入力できないのですか？ 0と100のZスコアはそれぞれ負の無限大、正の無限大になります。この計算機は極端な入力を制限し、代わりに非常に大きな有限の値を返します。
これは標準正規分布向けですか？ はい。平均\(\mu\)、標準偏差\(\sigma\)を持つ実際の分布に変換するには、\(x = \mu + z\cdot\sigma\) を使ってください。
