ما هي حاسبة تحويل المئيني إلى الدرجة المعيارية Z؟
تحوّل هذه الأداة الرتبة المئينية إلى ما يقابلها من درجة معيارية (Z-Score) على التوزيع الطبيعي القياسي (متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1). تخبرك الدرجة المعيارية بعدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها قيمة معيّنة فوق المتوسط أو تحته. وبما أنّ الرتبة المئينية تصف نسبة البيانات الواقعة تحت نقطة ما، فإنّ إيجاد الدرجة المعيارية يتطلّب الدالة العكسية للدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي، ويُرمز لها بـ \(\Phi^{-1}\).
كيفية الاستخدام
أدخل رتبة مئينية بين 0 و100؛ فمثلاً القيمة 90 تعني أنّ «90% من القيم تقع تحت هذه النقطة». تُرجع لك الحاسبة الدرجة المعيارية المقابلة. الرتب المئينية الأقل من 50 تعطي درجات معيارية سالبة (أي تحت المتوسط)، والقيمة 50 بالضبط تعطي 0، والقيم الأعلى من 50 تعطي درجات معيارية موجبة.
شرح المعادلة
إذا كان \(p\) هو الرتبة المئينية مقسومة على 100، فإنّ $$z = \Phi^{-1}(p)$$ حيث \(\Phi\) هي الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي القياسي. لا توجد صيغة مغلقة بسيطة للدالة \(\Phi^{-1}\)، لذلك تعتمد هذه الحاسبة على تقريب «أكلام» (Acklam) النسبي الذي تبلغ دقّته نحو \(1\times10^{-9}\) على امتداد النطاق كاملاً.
مثال محلول
لنفترض أنّك تريد الدرجة المعيارية للرتبة المئينية 97.5. اضبط \(p = 0.975\)، فتُرجع الدالة العكسية للتوزيع الطبيعي القيمة $$z \approx 1.9600$$ وهذه هي القيمة الحرجة المألوفة المستخدمة في فترة ثقة بنسبة 95% (إذ تقع نسبة 2.5% في كلّ طرف من الطرفين).
الأسئلة الشائعة
ما الدرجة المعيارية المقابلة للرتبة المئينية 50؟ إنّها 0 بالضبط، لأنّ وسيط التوزيع الطبيعي يقع عند المتوسط تماماً.
لماذا لا يمكنني إدخال 0 أو 100؟ لأنّ الدرجة المعيارية المقابلة للقيمتين 0 و100 هي سالب ما لا نهاية وموجب ما لا نهاية على التوالي. لذا تحدّ الحاسبة من المدخلات المتطرفة وتُرجع قيمة منتهية كبيرة جداً بدلاً من ذلك.
هل تخصّ هذه الحاسبة التوزيع الطبيعي القياسي؟ نعم. وللتحويل إلى توزيع حقيقي متوسطه \(\mu\) وانحرافه المعياري \(\sigma\)، استخدم الصيغة \(x = \mu + z\cdot\sigma\).
