Công cụ chuyển Phân vị sang Điểm Z là gì?
Công cụ này chuyển một phân vị thành điểm z tương ứng trên phân phối chuẩn tắc (trung bình bằng 0, độ lệch chuẩn bằng 1). Điểm z cho biết một giá trị nằm cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn, ở phía trên hay phía dưới. Vì phân vị mô tả tỷ lệ dữ liệu nằm dưới một điểm nào đó, nên để tìm điểm z ta cần dùng hàm nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy chuẩn, ký hiệu là \(\Phi^{-1}\).
Cách sử dụng
Nhập một phân vị nằm trong khoảng từ 0 đến 100 — ví dụ, 90 nghĩa là "90% giá trị nằm dưới điểm này". Công cụ sẽ trả về điểm z tương ứng. Phân vị nhỏ hơn 50 cho ra điểm z âm (nằm dưới trung bình), đúng bằng 50 cho ra 0, còn giá trị lớn hơn 50 cho ra điểm z dương.
Giải thích công thức
Nếu gọi \(p\) là phân vị chia cho 100, thì
$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$trong đó \(\Phi\) là hàm phân phối tích lũy chuẩn. Không có công thức tường minh đơn giản cho \(\Phi^{-1}\), vì vậy công cụ này sử dụng phép xấp xỉ phân thức của Acklam, đạt độ chính xác khoảng \(1\times10^{-9}\) trên toàn miền giá trị.
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn cần tìm điểm z cho phân vị thứ 97,5. Đặt \(p = 0{,}975\). Hàm phân phối chuẩn nghịch đảo trả về
$$z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}9600$$Đây chính là giá trị tới hạn quen thuộc dùng cho khoảng tin cậy 95% (vì mỗi đuôi phân phối chiếm 2,5%).
Câu hỏi thường gặp
Điểm z nào ứng với phân vị thứ 50? Chính xác là 0, vì trung vị của phân phối chuẩn nằm ngay tại giá trị trung bình.
Vì sao không thể nhập 0 hoặc 100? Điểm z ứng với 0 và 100 lần lượt là âm vô cùng và dương vô cùng. Công cụ sẽ giới hạn các giá trị nhập cực trị để trả về một số hữu hạn rất lớn thay thế.
Công cụ này áp dụng cho phân phối chuẩn tắc phải không? Đúng vậy. Để chuyển sang một phân phối thực có trung bình \(\mu\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\), hãy dùng công thức \(x = \mu + z\cdot\sigma\).
