¿Qué es una calculadora de percentil a puntuación z?
Esta herramienta convierte un percentil en su correspondiente puntuación z dentro de la distribución normal estándar (media 0, desviación típica 1). La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas se sitúa un valor por encima o por debajo de la media. Como los percentiles describen la proporción de datos que quedan por debajo de un punto, calcular la puntuación z exige aplicar la inversa de la función de distribución acumulada normal, que se escribe \(\Phi^{-1}\).
Cómo usarla
Introduce un percentil entre 0 y 100; por ejemplo, 90 significa que «el 90 % de los valores quedan por debajo de ese punto». La calculadora te devuelve la puntuación z. Los percentiles por debajo de 50 generan puntuaciones z negativas (por debajo de la media), exactamente 50 da 0, y los valores superiores a 50 dan puntuaciones z positivas.
La fórmula explicada
Si p es el percentil dividido entre 100, entonces
$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentil}}{100}\right) \quad\text{tal que}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentil}}{100}$$donde \(\Phi\) es la función de distribución acumulada normal estándar. No existe una fórmula cerrada sencilla para \(\Phi^{-1}\), por lo que esta calculadora emplea la aproximación racional de Acklam, con una precisión de alrededor de \(1\times10^{-9}\) en todo el rango.
Ejemplo resuelto
Supongamos que quieres la puntuación z del percentil 97,5. Fija \(p = 0{,}975\). La función normal inversa devuelve
$$z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}9600$$Este es el conocido valor crítico que se utiliza para un intervalo de confianza del 95 % (ya que el 2,5 % queda en cada cola).
Preguntas frecuentes
¿Qué puntuación z corresponde al percentil 50? Exactamente 0, porque la mediana de una distribución normal coincide con la media.
¿Por qué no puedo introducir 0 ni 100? Las puntuaciones z para 0 y 100 son menos infinito y más infinito. La calculadora limita los valores extremos para devolver, en su lugar, un número finito muy grande.
¿Sirve para la distribución normal estándar? Sí. Para pasar a una distribución real con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), usa \(x = \mu + z\cdot\sigma\).
