百分位數轉 Z 分數計算器

輸入計算

百分位數（0–100）

結果

Z-Score for the 97.5th Percentile

1.96

個距平均數的標準差

百分位數	97.5%
Z 分數	1.96

什麼是百分位數轉 Z 分數計算器？

這個工具能將百分位數換算成標準常態分布（平均數為 0、標準差為 1）上對應的 Z 分數。Z 分數代表某個數值高於或低於平均數幾個標準差。由於百分位數描述的是「低於某一點的資料比例」，要反推 Z 分數，就必須用到常態累積分布函數的反函數，記作 \(\Phi^{-1}\)。

百分位數 p 是標準常態曲線下 z 分數左側的陰影面積。

使用方法

輸入一個介於 0 到 100 之間的百分位數——舉例來說，90 代表「有 90% 的數值落在這一點以下」。計算器會回傳對應的 Z 分數。低於 50 的百分位數會得到負的 Z 分數（位於平均數以下），剛好 50 時為 0，而大於 50 則會得到正的 Z 分數。

公式說明

若令 \(p\) 為百分位數除以 100，則

$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$

其中 \(\Phi\) 是標準常態累積分布函數（CDF）。由於 \(\Phi^{-1}\) 沒有簡單的封閉解，本計算器採用 Acklam 的有理逼近法，在整個範圍內的精度約可達 \(1\times10^{-9}\)。

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逆常態累積分布函數將累積機率 p 轉換為其 z 分數。

範例試算

假設你想求第 97.5 百分位數的 Z 分數，令 \(p = 0.975\)，反常態 CDF 會回傳 \(z \approx 1.9600\)。這正是計算 95% 信賴區間時常見的臨界值（因為兩側各有 2.5% 落在尾端）。

常見問題

第 50 百分位數對應的 Z 分數是多少？剛好是 0，因為常態分布的中位數正好落在平均數上。

為什麼不能輸入 0 或 100？百分位數為 0 與 100 時，Z 分數分別是負無限大與正無限大。計算器會將這類極端輸入值限制在一個非常大的有限數值，以便回傳結果。

這是針對標準常態分布計算的嗎？是的。若要換算成平均數為 \(\mu\)、標準差為 \(\sigma\) 的實際分布，可使用公式 \(x = \mu + z\cdot\sigma\)。