Z 分數計算器

輸入計算

原始值（x）

平均數（μ）

標準差（σ）

結果

Z 分數

1.5

個標準差（距離平均數）

離差（x − μ）	15

什麼是 Z 分數？

Z 分數（又稱標準分數）能告訴你某個資料點落在平均數之上或之下幾個標準差的位置。Z 分數為正，代表該數值高於平均數；為負則代表低於平均數；若 Z 分數為 0，就表示剛好等於平均數。透過 Z 分數，你可以把來自不同分布的數值放到同一個共同尺度上互相比較。

z 分數表示一個值偏離平均值多少個標準差。

如何使用這個計算器

請輸入三個數字：你想標準化的原始值 x、母體平均數 μ，以及標準差 σ。計算器會立即回傳 Z 分數，以及原始離差（x − μ）。要特別注意，標準差不能為 0，因為除以零在數學上沒有定義。

公式解析

Z 分數的定義為 $$z = \frac{\text{Raw value }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std.\ dev.\ }(\sigma)}$$ 先用數值減去平均數，得到離差，再除以標準差，把這個離差換算成「以標準差為單位」的數值。這個重新縮放的步驟，正是把任意常態分布轉換成平均數為 0、標準差為 1 的標準常態分布所用的同一種轉換。

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z 是 x 與平均值之間的差距，以標準差為單位衡量。

實際範例

假設某位學生在一次考試中考了 85 分，全班平均為 70 分，標準差為 10。離差為 \(85 - 70 = 15\)，再除以 10，得到 $$z = \frac{15}{10} = 1.5$$ 也就是說，這位學生的成績比平均高出 1.5 個標準差。

常見問題

Z 分數為負代表什麼？代表該數值低於平均數。例如 \(z = -2\)，就表示比平均低了兩個標準差。

怎樣才算「好」的 Z 分數？這要看情境而定。在考試成績中，分數越高（越偏正）通常越好；但在品質管制裡，越接近 0 反而代表越貼近目標值。

該用母體標準差還是樣本標準差？請依你的參照群體選擇最能描述它的 σ。公式完全相同，只要代入合適的標準差即可。