ما هي الدرجة المعيارية (Z-Score)؟
الدرجة المعيارية، أو ما يُعرف بـ«z-score»، تخبرك بعدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها نقطة بيانات عن متوسط توزيعها، سواء فوقه أو تحته. فالقيمة الموجبة تعني أن العنصر أعلى من المتوسط، والقيمة السالبة تعني أنه أدنى منه، أما الصفر فيعني أن القيمة تساوي المتوسط تمامًا. وبفضل هذه الدرجة يمكنك مقارنة قيم من توزيعات مختلفة على مقياس موحَّد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاثة أرقام: القيمة الخام x التي تريد توحيدها، ومتوسط المجتمع μ، والانحراف المعياري σ. تعرض الحاسبة على الفور الدرجة المعيارية إضافةً إلى الانحراف الخام \((x - \mu)\). لاحظ أن الانحراف المعياري لا يمكن أن يساوي صفرًا، لأن القسمة على صفر غير معرَّفة.
شرح المعادلة
تُعرَّف الدرجة المعيارية بالمعادلة $$z = \frac{\text{Raw value }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std.\ dev.\ }(\sigma)}$$ تطرح أولًا المتوسط من القيمة لإيجاد الانحراف، ثم تقسم الناتج على الانحراف المعياري لتعبّر عن هذا الانحراف بوحدات الانحراف المعياري. وهذا التحويل هو نفسه المستخدم لتحويل أي توزيع طبيعي إلى التوزيع الطبيعي المعياري الذي يكون متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1.
مثال تطبيقي
لنفترض أن طالبًا حصل على 85 في اختبار يبلغ متوسط درجات الصف فيه 70 وانحرافه المعياري 10. الانحراف هنا هو \(85 - 70 = 15\). وبقسمة الناتج على 10 نحصل على $$z = \frac{15}{10} = 1.5$$ أي أن الطالب تفوّق على المتوسط بمقدار 1.5 انحراف معياري.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني الدرجة المعيارية السالبة؟ تعني أن القيمة أدنى من المتوسط. فمثلًا، \(z = -2\) تعني أن القيمة تقع على بُعد انحرافين معياريين تحت المتوسط.
ما هي الدرجة المعيارية «الجيدة»؟ يتوقف ذلك على السياق. ففي الاختبارات، تكون القيمة الأعلى (الأكثر إيجابية) أفضل عادةً، بينما في ضبط الجودة تشير القيم الأقرب إلى الصفر إلى الالتزام بالهدف المطلوب.
هل أستخدم الانحراف المعياري للمجتمع أم للعينة؟ استخدم القيمة σ التي تصف مجموعتك المرجعية على أفضل وجه. المعادلة واحدة في الحالتين؛ ما عليك سوى إدخال الانحراف المعياري المناسب.
