ما هي الدرجة المعيارية (Z-Score)؟
الدرجة المعيارية (وتُعرف أيضًا بالدرجة القياسية أو القيمة المعيارية) تخبرك بعدد الانحرافات المعيارية للمجتمع التي تبعدها قيمة معينة عن متوسط المجتمع. فإذا كانت قيمة z موجبة دلّ ذلك على أن القيمة أعلى من المتوسط، وإذا كانت سالبة فهي أدنى من المتوسط، أما \(z = 0\) فيعني أنها تساوي المتوسط تمامًا. ولأن الدرجات المعيارية مجردة من الوحدات، فإنها تتيح لك مقارنة قياسات أُخذت على مقاييس مختلفة تمامًا. هذه الحاسبة أداة إحصائية بحتة وتعمل بالطريقة نفسها في أي مكان حول العالم.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر ما تريد تحويله إلى قيمة معيارية من خلال محدد "احسب z باستخدام": نقطة بيانات واحدة أو عدة نقاط، أو متوسط عينة معروف مع حجمها، أو عينة بيانات خام تتولى الأداة حساب متوسطها نيابةً عنك. بعد ذلك أدخل متوسط المجتمع (mu) والانحراف المعياري للمجتمع (sigma). يمكن الفصل بين القيم في القوائم بفواصل أو مسافات أو علامات جدولة أو أسطر جديدة، بحيث يمكنك لصق عمود من جدول بيانات مباشرةً.
المعادلات
بالنسبة لقياس واحد تكون المعادلة $$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$$ أما لمتوسط العينة فتستخدم المعادلة الخطأ المعياري للمتوسط: $$z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ حيث يمثّل المقدار \(\sigma / \sqrt{n}\) الخطأ المعياري. وفي وضع "عينة البيانات" تحسب الأداة أولًا متوسط العينة \(\bar{x} = \dfrac{\text{مجموع القيم}}{n}\)، ثم تطبّق معادلة الخطأ المعياري نفسها.
مثال محلول
لنفترض أن \(x = 190\) وأن \(\mu = 150\) وأن \(\sigma = 25\). عندئذٍ $$z = \dfrac{190 - 150}{25} = \dfrac{40}{25} = 1.6$$ أي أن القيمة 190 تقع على بُعد 1.6 انحراف معياري فوق المتوسط. وفي مثال لمتوسط عينة حيث \(\bar{x} = 280\) و\(\mu = 300\) و\(\sigma = 50\) و\(n = 25\)، يكون الخطأ المعياري \(50 / \sqrt{25} = 10\)، ومن ثَمّ $$z = \dfrac{280 - 300}{10} = -2.0$$
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني إدخال عدة نقاط بيانات دفعة واحدة؟ نعم. في وضع "نقطة/نقاط البيانات"، أدخل عدة أرقام مفصولة بفواصل أو مسافات، وستحصل على درجة معيارية لكل منها.
لماذا يجب أن يكون sigma أكبر من صفر؟ تتضمن معادلة z قسمة على \(\sigma\) (أو على الخطأ المعياري \(\sigma/\sqrt{n}\)). فلو كان الانحراف المعياري صفرًا لأدى ذلك إلى القسمة على صفر، ولهذا تُظهر الحاسبة رسالة خطأ.
كيف أحوّل الدرجة المعيارية إلى مئيني (نسبة مئوية)؟ ابحث عن قيمة z في جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو استخدم دالة التوزيع الطبيعي التراكمي. على سبيل المثال، تقابل القيمة \(z = 1.6\) ما يعادل المئين 94.52 تقريبًا.
