Что такое z-оценка?
Z-оценка (её также называют стандартной оценкой или стандартизованным значением) показывает, на сколько стандартных отклонений совокупности значение отстоит от среднего по совокупности. Положительное z означает, что значение выше среднего, отрицательное — ниже, а \(z = 0\) говорит о том, что значение точно совпадает со средним. Поскольку z-оценки безразмерны, они позволяют сравнивать наблюдения, измеренные в совершенно разных единицах и масштабах. Это чисто статистический инструмент, и он работает одинаково в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
С помощью переключателя «Рассчитать z по» выберите, что именно вы хотите стандартизировать: одну или несколько точек данных, известное выборочное среднее с указанием объёма выборки или сырую выборку данных, среднее по которой калькулятор посчитает сам. Затем введите среднее совокупности (μ) и стандартное отклонение совокупности (σ). Списки чисел можно разделять запятыми, пробелами, табуляцией или переносами строк, поэтому столбец из таблицы можно вставить напрямую.
Формулы
Для одного наблюдения формула выглядит так:
$$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$$Для выборочного среднего используется стандартная ошибка среднего:
$$z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$где \(\sigma / \sqrt{n}\) — это стандартная ошибка. В режиме «Выборка данных» калькулятор сначала вычисляет выборочное среднее \(\bar{x} = (\text{сумма значений}) / n\), а затем применяет ту же формулу со стандартной ошибкой.
Разбор примера
Пусть \(x = 190\), \(\mu = 150\) и \(\sigma = 25\). Тогда
$$z = \dfrac{190 - 150}{25} = \dfrac{40}{25} = 1{,}6$$— это значит, что 190 лежит на 1,6 стандартного отклонения выше среднего. Для примера с выборочным средним при \(\bar{x} = 280\), \(\mu = 300\), \(\sigma = 50\) и \(n = 25\) стандартная ошибка равна \(50 / \sqrt{25} = 10\), поэтому
$$z = \dfrac{280 - 300}{10} = -2{,}0$$Частые вопросы
Можно ли ввести сразу несколько точек данных? Да. В режиме «Точка(и) данных» введите несколько чисел через запятую или пробел — и вы получите z-оценку для каждого из них.
Почему σ должно быть больше нуля? В формуле z происходит деление на σ (или на стандартную ошибку \(\sigma/\sqrt{n}\)). При стандартном отклонении, равном нулю, возникло бы деление на ноль, поэтому калькулятор выдаёт ошибку.
Как перевести z-оценку в процентиль? Найдите значение z в таблице стандартного нормального распределения или воспользуйтесь функцией кумулятивного нормального распределения. Например, \(z = 1{,}6\) соответствует примерно 94,52-му процентилю.
