Z-점수란?
Z-점수(표준 점수 또는 표준화 값이라고도 합니다)는 어떤 값이 모집단 평균에서 모집단 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다. z가 양수이면 그 값이 평균보다 크다는 뜻이고, 음수이면 평균보다 작다는 뜻이며, \(z = 0\)이면 평균과 정확히 같다는 의미입니다. Z-점수는 단위가 없기 때문에 서로 전혀 다른 척도로 측정한 값들도 한자리에 놓고 비교할 수 있습니다. 이 계산기는 순수한 통계 도구라서 어느 나라에서 사용하든 결과가 동일합니다.
계산기 사용법
"z 계산 대상" 선택 메뉴에서 무엇을 표준화할지 고르세요. 하나 또는 여러 개의 데이터 값, 표본 크기까지 알고 있는 표본 평균, 아니면 계산기가 직접 평균을 내주는 원시 데이터 표본 중에서 선택할 수 있습니다. 그런 다음 모집단 평균(\(\mu\))과 모집단 표준편차(\(\sigma\))를 입력하세요. 목록은 쉼표, 공백, 탭, 줄바꿈으로 구분할 수 있으므로 스프레드시트의 열을 그대로 붙여넣어도 됩니다.
공식
관측값 하나에 대한 공식은 다음과 같습니다.
$$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$$표본 평균의 경우에는 평균의 표준오차를 사용해 다음과 같이 계산하며,
$$z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$여기서 \(\sigma / \sqrt{n}\) 이 표준오차입니다. "데이터 표본" 모드에서는 계산기가 먼저 표본 평균 \(\bar{x} = (\text{값들의 합}) / n\) 을 구한 뒤, 같은 표준오차 공식을 적용합니다.
계산 예시
예를 들어 \(x = 190\), \(\mu = 150\), \(\sigma = 25\) 라고 합시다. 그러면
$$z = \dfrac{190 - 150}{25} = \dfrac{40}{25} = 1.6$$이 되며, 이는 190이 평균보다 표준편차 1.6배만큼 위에 있다는 뜻입니다. 표본 평균 예시로 \(\bar{x} = 280\), \(\mu = 300\), \(\sigma = 50\), \(n = 25\) 인 경우, 표준오차는 \(50 / \sqrt{25} = 10\) 이므로
$$z = \dfrac{280 - 300}{10} = -2.0$$자주 묻는 질문
데이터 값을 여러 개 한 번에 입력할 수 있나요? 가능합니다. "데이터 값" 모드에서 쉼표나 공백으로 구분해 여러 숫자를 입력하면 각 값에 대한 z-점수가 나옵니다.
\(\sigma\)는 왜 0보다 커야 하나요? z 공식은 \(\sigma\)(또는 표준오차 \(\sigma/\sqrt{n}\))로 나눗셈을 합니다. 표준편차가 0이면 0으로 나누게 되므로 계산기가 오류를 반환합니다.
Z-점수를 백분위수로 바꾸려면 어떻게 하나요? 표준정규분포표에서 z 값을 찾거나 누적정규분포 함수를 사용하면 됩니다. 예를 들어 \(z = 1.6\) 은 대략 94.52 백분위수에 해당합니다.
