Z 점수란?
Z 점수(표준점수라고도 합니다)는 어떤 데이터 값이 분포의 평균보다 표준편차 기준으로 얼마나 위 또는 아래에 있는지를 나타냅니다. Z 점수가 양수이면 값이 평균보다 크고, 음수이면 평균보다 작으며, 0이면 평균과 정확히 같다는 뜻입니다. Z 점수를 활용하면 서로 다른 분포에서 나온 값들도 동일한 기준으로 비교할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
세 가지 숫자를 입력하세요. 표준화하려는 원값 x, 모집단 평균 μ, 그리고 표준편차 σ 입니다. 입력하는 즉시 Z 점수와 원 편차(\(x - \mu\))가 함께 표시됩니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않으므로 표준편차는 0이 될 수 없습니다.
공식 풀이
Z 점수는 다음과 같이 정의됩니다.
$$z = \frac{\text{Raw value }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std.\ dev.\ }(\sigma)}$$
먼저 값에서 평균을 빼서 편차를 구한 다음, 그 편차를 표준편차로 나누어 표준편차 단위로 환산합니다. 이 변환은 어떤 정규분포든 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포로 바꿀 때 사용하는 것과 동일한 과정입니다.
예제 풀이
한 학생이 시험에서 85점을 받았고, 반 평균이 70점, 표준편차가 10점이라고 가정해 봅시다. 편차는 \(85 - 70 = 15\) 입니다. 이를 10으로 나누면 다음과 같습니다.
$$z = \frac{15}{10} = 1.5$$
즉, 이 학생은 평균보다 표준편차 1.5배만큼 높은 점수를 받은 것입니다.
자주 묻는 질문
Z 점수가 음수이면 무슨 뜻인가요? 값이 평균보다 아래에 있다는 의미입니다. 예를 들어 \(z = -2\) 는 평균보다 표준편차 2배만큼 낮다는 뜻입니다.
"좋은" Z 점수는 어떤 값인가요? 상황에 따라 다릅니다. 시험 점수에서는 보통 값이 클수록(양수에 가까울수록) 좋고, 품질 관리에서는 0에 가까울수록 목표치에 부합한다는 의미가 됩니다.
모집단 표준편차와 표본 표준편차 중 무엇을 써야 하나요? 기준이 되는 집단을 가장 잘 설명하는 \(\sigma\)를 사용하면 됩니다. 공식은 동일하니 상황에 맞는 표준편차를 그대로 대입하세요.
