Калькулятор перевода перцентиля в Z-оценку

Введите расчет

Перцентиль (0–100)

Результатов

Z-Score for the 97,5th Percentile

1,96

стандартных отклонений от среднего

Перцентиль	97,5%
Z-оценка	1,96

Что такое калькулятор перевода перцентиля в Z-оценку?

Этот инструмент переводит перцентиль в соответствующую ему Z-оценку на стандартном нормальном распределении (среднее равно 0, стандартное отклонение — 1). Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего. Поскольку перцентиль описывает долю данных, лежащую ниже определённой точки, для расчёта Z-оценки нужна обратная функция нормального распределения, которую записывают как \(\Phi^{-1}\).

Процентиль p — это закрашенная площадь слева от z-оценки под стандартной нормальной кривой.

Как пользоваться калькулятором

Введите перцентиль от 0 до 100 — например, значение 90 означает, что «90% значений лежат ниже этой точки». Калькулятор вернёт Z-оценку. Перцентили ниже 50 дают отрицательные Z-оценки (ниже среднего), ровно 50 соответствует 0, а значения выше 50 дают положительные Z-оценки.

Разбор формулы

Если p — это перцентиль, делённый на 100, то $$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$ где \(\Phi\) — функция распределения (CDF) стандартного нормального закона. Простой замкнутой формулы для \(\Phi^{-1}\) не существует, поэтому калькулятор использует рациональное приближение Акклама (Acklam), которое обеспечивает точность около \(1\times10^{-9}\) во всём диапазоне.

Реклама

Обратная нормальная функция распределения превращает накопленную вероятность p в её z-оценку.

Разбор примера

Допустим, нужно найти Z-оценку для 97,5-го перцентиля. Подставляем \(p = 0{,}975\). Обратная функция нормального распределения даёт $$z \approx 1{,}9600$$ Это хорошо известное критическое значение, используемое для 95%-го доверительного интервала (поскольку по 2,5% приходится на каждый «хвост»).

Частые вопросы

Какой Z-оценке соответствует 50-й перцентиль? Ровно 0, так как медиана нормального распределения совпадает со средним.

Почему нельзя ввести 0 или 100? Z-оценки для 0 и 100 равны минус и плюс бесконечности. Чтобы избежать этого, калькулятор ограничивает крайние значения и возвращает очень большое, но конечное число.

Это для стандартного нормального распределения? Да. Чтобы перейти к реальному распределению со средним \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\), используйте формулу \(x = \mu + z\cdot\sigma\).