Что такое вероятность противоположного события?
В теории вероятностей противоположным к событию A называют событие, которое заключается в том, что A не произошло. Его обозначают как A′ (или Ac). Поскольку любое событие либо наступает, либо нет, вероятность самого события и вероятность противоположного ему всегда в сумме дают 1. Отсюда вытекает простое, но очень удобное правило: $$P(A^{\prime}) = 1 - \text{P(A)}$$
Как пользоваться калькулятором
Введите вероятность вашего события \(P(A)\) в виде десятичной дроби от 0 до 1. Например, вероятность 25% записывается как 0,25. Калькулятор вернёт \(P(A^{\prime})\) — вероятность того, что событие не произойдёт, — и покажет её и в виде десятичной дроби, и в процентах. Кроме того, он подтвердит, что сумма двух вероятностей равна 1.
Разбираем формулу
Правило противоположного события напрямую следует из аксиомы: суммарная вероятность всех возможных исходов равна 1. Так как событие A и противоположное ему A′ вместе охватывают все возможные варианты, то \(P(A) + P(A^{\prime}) = 1\). Перенеся слагаемое, получаем \(P(A^{\prime}) = 1 - P(A)\). Это правило особенно выручает при расчёте вероятностей вида «хотя бы один»: вычислить противоположную вероятность (не произошло ни одного) гораздо проще, чем складывать множество отдельных случаев.
Пример с решением
Допустим, вероятность дождя завтра равна \(P(A) = 0{,}30\) (30%). Тогда вероятность того, что дождя не будет, — это противоположное событие: $$P(A^{\prime}) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70$$ то есть 70%. Для проверки: \(0{,}30 + 0{,}70 = 1\) — результат верный.
Частые вопросы
Может ли P(A) быть больше 1? Нет. Вероятность лежит в пределах от 0 до 1 (от 0% до 100%). Значения за этими границами автоматически ограничиваются.
Чему равно противоположное к достоверному событию? Если \(P(A) = 1\), событие достоверно (наступит обязательно), и тогда \(P(A^{\prime}) = 0\) — то есть оно никак не может не произойти.
Зачем вообще нужны противоположные события? Они упрощают задачи на «хотя бы один»: \(P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})\), а второе посчитать напрямую обычно гораздо легче.
