Что такое калькулятор перевода z-оценки в процентильный ранг?
Z-оценка (или стандартизированная оценка) показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего в распределении. Этот калькулятор переводит z-оценку в процентильный ранг — долю значений в нормально распределённом наборе данных, которые лежат ниже вашего значения. Например, z-оценка 0 соответствует 50-му процентилю (среднему), а z-оценка 1,96 — примерно 97,5-му процентилю.
Как пользоваться калькулятором
Введите свою z-оценку в поле ввода. Положительные значения z означают, что результат выше среднего; отрицательные — ниже среднего. Калькулятор выдаёт процентильный ранг в процентах, а также кумулятивную вероятность \(\Phi(z)\) в диапазоне от 0 до 1.
Разбор формулы
Процентильный ранг равен значению функции стандартного нормального распределения в точке z, умноженному на 100:
$$\text{Percentile} = \Phi\!\left(\text{z}\right) \times 100 = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{z}}{\sqrt{2}}\right)\right] \times 100$$\(\Phi(z)\) — это площадь под стандартной нормальной кривой слева от z. Мы вычисляем её по формуле \(\Phi(z) = \tfrac{1}{2}[1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2})]\), применяя рациональное приближение Абрамовица и Стиган для функции ошибок (точность около 7 знаков после запятой).
Пример расчёта
Допустим, ваша z-оценка равна 1,0. Тогда \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\), и процентильный ранг составляет
$$0{,}8413 \times 100 \approx 84{,}13\,\%$$Это значит, что около 84 % значений нормального распределения лежат ниже точки, отстоящей на одно стандартное отклонение выше среднего.
Частые вопросы
Что даёт отрицательная z-оценка? Z-оценка −1 соответствует процентилю около 15,87 %, поскольку она лежит ниже среднего.
Насколько результат точен? Численное приближение даёт точность примерно до 7 знаков после запятой — этого с лихвой хватает для домашних заданий по статистике и для отчётов.
Нужно ли нормальное распределение? Да. Перевод в процентиль через z-оценку корректен только тогда, когда данные распределены (приблизительно) нормально.
