Z 分數轉百分位數計算機

輸入計算

Z 分數 (z)

結果

百分位數

84.13

落在此 Z 分數以下的數值百分比

累積機率 Φ(z)	0.8413

什麼是 Z 分數轉百分位數計算機？

Z 分數（又稱標準分數）告訴你某個數值高於或低於分布平均數幾個標準差。這個計算機會把 Z 分數換算成百分位數——也就是在一組呈常態分布的數據中，有多少百分比的數值落在你這個值之下。舉例來說，Z 分數為 0 對應第 50 百分位（即平均數），而 Z 分數為 1.96 則大約對應第 97.5 百分位。

如何使用

在輸入框中填入你的 Z 分數。正的 Z 分數代表數值高於平均數；負的 Z 分數則代表低於平均數。計算機會以百分比形式回傳百分位數，並附上介於 0 到 1 之間的累積機率 \(\Phi(z)\)。

公式說明

百分位數等於標準常態累積分布函數在 z 點的值，再乘以 100：

$$\text{Percentile} = \Phi\!\left(\text{z}\right) \times 100 = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{z}}{\sqrt{2}}\right)\right] \times 100$$

\(\Phi(z)\) 代表標準常態曲線在 z 左側所涵蓋的面積。我們以 \(\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2})\right]\) 計算，並採用 Abramowitz & Stegun 的有理近似法來求誤差函數（精確度約達小數點後 7 位）。

Advertisement

百分位數等於標準常態曲線下 z 左側的陰影面積 \(\Phi(z)\)。

實例演算

假設你的 Z 分數為 1.0。\(\Phi(1) \approx 0.8413\)，因此百分位數為 \(0.8413 \times 100 \approx 84.13\%\)。這表示在常態分布中，大約有 84% 的數值落在「高於平均數一個標準差」這個點之下。

常見問題

負的 Z 分數會得到什麼？Z 分數為 −1 時，百分位數約為 15.87%，因為它位於平均數之下。

這個結果精確嗎？此數值近似法的精確度約達小數點後 7 位——對於統計作業與報告分析來說綽綽有餘。

這是否假設數據呈常態分布？是的。透過 Z 分數換算百分位數，只有在數據（近似）呈常態分布時才有效。