什麼是 Z 分數？
Z 分數（又稱標準分數）用來衡量一筆資料落在分配平均數之上或之下幾個標準差的位置。Z 分數為正，代表該數值高於平均數；為負則代表低於平均數；若 Z 分數等於 0，表示該數值剛好等於平均數。Z 分數在統計學中之所以被廣泛使用，是因為它能把來自完全不同尺度的數值放在同一個基準上比較。
如何使用這個計算器
只要輸入三個數字：你想評估的原始分數（\(x\)）、母體平均數（\(\mu\)），以及母體標準差（\(\sigma\)）。計算器會立即回傳 Z 分數，以及原始離差（\(x - \mu\)）。請注意標準差不能為 0，因為除以 0 在數學上沒有定義。
公式解析
標準分數的定義為 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 先用你的數值減去平均數，得到離差；再除以標準差，把這個離差換算成「以標準差為單位」的數值。經過這樣的重新縮放後，整個分配的平均數會變成 0、標準差變成 1；當原始資料服從常態分配時，這就是所謂的標準常態分配。
範例試算
假設某位學生在一次考試中得到 85 分，全班平均為 70 分，標準差為 10 分。那麼 $$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = \mathbf{1.5}$$ 代表這位學生的成績高於平均數 1.5 個標準差——若成績呈常態分配，他大約贏過了 93% 的應試者。
常見問題
Z 分數為負代表什麼？代表該數值低於平均數。例如 Z 分數為 \(-2\)，就表示落在平均數之下兩個標準差的位置。
怎樣才算「好」的 Z 分數？這要視情境而定，但一般而言超過 \(\pm 2\) 或 \(\pm 3\) 的數值會被視為不尋常，因為它們落在分配兩端的尾部。
該用樣本標準差還是母體標準差？傳統的 Z 分數使用母體標準差（\(\sigma\)）。如果你手邊只有樣本資料，可以改用樣本標準差作為估計值，但解讀結果時要格外謹慎。
