Z स्कोर क्या है?
Z स्कोर (जिसे स्टैंडर्ड स्कोर भी कहते हैं) यह बताता है कि कोई डेटा बिंदु अपने वितरण के माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे है। धनात्मक (पॉज़िटिव) z स्कोर का मतलब है कि मान माध्य से ऊपर है; ऋणात्मक (नेगेटिव) z स्कोर का मतलब है कि वह माध्य से नीचे है। 0 का z स्कोर दर्शाता है कि मान बिल्कुल माध्य के बराबर है। आँकड़ों में z स्कोर का इस्तेमाल हर जगह होता है, क्योंकि इसकी मदद से आप बिल्कुल अलग-अलग पैमानों के मानों की एक समान आधार पर तुलना कर सकते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन संख्याएँ दर्ज करें: जिस कच्चे स्कोर (\(x\)) का आकलन करना है, जनसंख्या का माध्य (\(\mu\)), और जनसंख्या का मानक विचलन (\(\sigma\))। कैलकुलेटर तुरंत z स्कोर और कच्चा विचलन \((x - \mu)\) दिखा देता है। ध्यान रहे, मानक विचलन शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है।
सूत्र की व्याख्या
स्टैंडर्ड स्कोर इस प्रकार परिभाषित होता है:
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$पहले अपने मान में से माध्य घटाएँ ताकि विचलन मिल जाए, फिर उसे मानक विचलन से भाग दें ताकि वह विचलन मानक-विचलन की इकाइयों में आ जाए। इस पुनर्मापन से एक ऐसा वितरण बनता है जिसका माध्य 0 और मानक विचलन 1 होता है — डेटा के सामान्य (नॉर्मल) वितरण वाले होने पर इसे मानक सामान्य वितरण (स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन) कहते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी परीक्षा में एक छात्र को 85 अंक मिलते हैं, जहाँ कक्षा का माध्य 70 और मानक विचलन 10 है। तब
$$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$$यानी छात्र ने औसत से 1.5 मानक विचलन ऊपर अंक पाए — यदि अंक सामान्य रूप से वितरित हों, तो यह लगभग 93% परीक्षार्थियों से बेहतर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ऋणात्मक (नेगेटिव) z स्कोर का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि मान माध्य से नीचे है। \(-2\) का z स्कोर औसत से दो मानक विचलन नीचे होता है।
"अच्छा" z स्कोर कौन-सा होता है? यह संदर्भ पर निर्भर करता है, लेकिन \(\pm 2\) या \(\pm 3\) से आगे के मान असामान्य माने जाते हैं, क्योंकि वे वितरण के सिरों (टेल्स) में आते हैं।
नमूने (सैंपल) का मानक विचलन लूँ या जनसंख्या का? पारंपरिक z स्कोर में जनसंख्या का मानक विचलन (\(\sigma\)) इस्तेमाल होता है। यदि आपके पास केवल एक नमूना है, तो आप नमूने के मानक विचलन को अनुमान के रूप में ले सकते हैं, पर परिणामों की व्याख्या सावधानी से करें।
