Что такое z-оценка?
Z-оценка (её также называют стандартизированным значением или стандартной оценкой) показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего своего распределения. Положительная z-оценка означает, что значение выше среднего, отрицательная — что ниже. Z-оценка, равная 0, говорит о том, что значение в точности совпадает со средним. В статистике z-оценки используются повсеместно, потому что позволяют сравнивать величины с совершенно разными шкалами на общей, единой основе.
Как пользоваться калькулятором
Введите три числа: исходное значение (\(x\)), которое вы хотите оценить, среднее генеральной совокупности (\(\mu\)) и стандартное отклонение генеральной совокупности (\(\sigma\)). Калькулятор мгновенно покажет z-оценку и абсолютное отклонение от среднего (\(x - \mu\)). Стандартное отклонение не должно быть равно нулю, так как деление на ноль не определено.
Разбор формулы
Стандартизированное значение определяется как
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$Сначала из вашего значения вычитают среднее, чтобы получить отклонение, а затем делят его на стандартное отклонение — так отклонение выражается в единицах стандартного отклонения. Это преобразование даёт распределение со средним 0 и стандартным отклонением 1; для нормально распределённых данных оно называется стандартным нормальным распределением.
Пример расчёта
Предположим, ученик набрал 85 баллов на контрольной, где средний балл по классу равен 70, а стандартное отклонение — 10. Тогда
$$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = 1{,}5$$Результат ученика на 1,5 стандартных отклонения выше среднего — лучше, чем примерно у 93% сдававших, если баллы распределены нормально.
Частые вопросы
Что означает отрицательная z-оценка? Она означает, что значение ниже среднего. Например, z-оценка \(-2\) находится на два стандартных отклонения ниже среднего.
Какая z-оценка считается «хорошей»? Всё зависит от контекста, но значения за пределами \(\pm 2\) или \(\pm 3\) считаются необычными, поскольку попадают в «хвосты» распределения.
Какое стандартное отклонение использовать — выборочное или для совокупности? Классическая z-оценка рассчитывается по стандартному отклонению генеральной совокупности (\(\sigma\)). Если у вас есть только выборка, можно взять выборочное стандартное отклонение как оценку, но интерпретировать результат стоит с осторожностью.
