पर्सेंटाइल-से-Z-स्कोर कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी पर्सेंटाइल को स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन (माध्य 0, मानक विचलन 1) पर उसके संगत z-स्कोर में बदल देता है। z-स्कोर बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे है। चूँकि पर्सेंटाइल यह दर्शाता है कि किसी बिंदु के नीचे कितना डेटा मौजूद है, इसलिए z-स्कोर निकालने के लिए नॉर्मल क्यूम्युलेटिव डिस्ट्रिब्यूशन फ़ंक्शन के व्युत्क्रम (इनवर्स) की ज़रूरत होती है, जिसे \(\Phi^{-1}\) लिखा जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
0 और 100 के बीच कोई पर्सेंटाइल दर्ज करें — उदाहरण के लिए, 90 का मतलब है "90% मान इस बिंदु के नीचे आते हैं।" कैलकुलेटर आपको z-स्कोर लौटा देता है। 50 से कम पर्सेंटाइल पर ऋणात्मक z-स्कोर (माध्य से नीचे) मिलता है, ठीक 50 पर 0 मिलता है, और 50 से ऊपर के मानों पर धनात्मक z-स्कोर मिलता है।
फ़ॉर्मूला समझें
यदि p पर्सेंटाइल को 100 से भाग देने पर मिला मान है, तो
$$z = \Phi^{-1}\!\left(\frac{\text{Percentile}}{100}\right) \quad\text{such that}\quad \Phi(z) = \frac{\text{Percentile}}{100}$$जहाँ \(\Phi\) स्टैंडर्ड नॉर्मल CDF है। \(\Phi^{-1}\) के लिए कोई सरल बंद-रूप (closed form) सूत्र मौजूद नहीं है, इसलिए यह कैलकुलेटर Acklam के रैशनल एप्रॉक्सिमेशन का उपयोग करता है, जो पूरे रेंज में लगभग \(1\times10^{-9}\) तक सटीक होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप 97.5वें पर्सेंटाइल का z-स्कोर निकालना चाहते हैं। \(p = 0.975\) रखें। इनवर्स नॉर्मल CDF \(z \approx \mathbf{1.9600}\) लौटाता है। यह वही जाना-पहचाना क्रिटिकल वैल्यू है जो 95% कॉन्फ़िडेंस इंटरवल में इस्तेमाल होता है (क्योंकि हर पूँछ में 2.5% हिस्सा होता है)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
50वें पर्सेंटाइल के बराबर कौन-सा z-स्कोर होता है? ठीक 0, क्योंकि नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन का माध्यिका (median) माध्य पर ही स्थित होता है।
मैं 0 या 100 क्यों नहीं दर्ज कर सकता? 0 और 100 के z-स्कोर क्रमशः ऋणात्मक और धनात्मक अनंत होते हैं। इसके बजाय कैलकुलेटर चरम (extreme) इनपुट को सीमित कर एक बहुत बड़ा परिमित मान लौटाता है।
क्या यह स्टैंडर्ड नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन के लिए है? हाँ। माध्य \(\mu\) और मानक विचलन \(\sigma\) वाले किसी वास्तविक डिस्ट्रिब्यूशन में बदलने के लिए \(x = \mu + z\cdot\sigma\) का उपयोग करें।
