काई-स्क्वायर स्वतंत्रता परीक्षण क्या है?
काई-स्क्वायर (χ²) स्वतंत्रता परीक्षण यह जाँचता है कि क्या दो श्रेणीगत (categorical) चर आपस में संबंधित हैं। किसी 2×2 कंटिंजेंसी टेबल के लिए यह आपके द्वारा वास्तव में देखे गए मानों की तुलना उन मानों से करता है जिनकी अपेक्षा तब की जाती है जब दोनों चर पूरी तरह स्वतंत्र हों। अंतर जितना बड़ा होगा, χ² का मान उतना ही अधिक आएगा और यह संकेत देगा कि दोनों चर के बीच संबंध है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी 2×2 टेबल की चारों कोशिकाओं की गिनती दर्ज करें: A और B पहली पंक्ति बनाते हैं, तथा C और D दूसरी पंक्ति। कैलकुलेटर पंक्तियों के योग, स्तंभों के योग और कुल योग को जोड़ता है, प्रत्येक कोशिका का अपेक्षित मान निकालता है, और मानकीकृत वर्ग विचलनों को जोड़कर χ² देता है। साथ ही यह स्वतंत्रता की कोटि (2×2 टेबल के लिए हमेशा 1), अनुमानित p-मान, 0.05 का क्रांतिक मान, और परिणाम सांख्यिकीय रूप से सार्थक है या नहीं — यह भी बताता है।
सूत्र की व्याख्या
प्रत्येक कोशिका के लिए अपेक्षित आवृत्ति \(E = (\text{पंक्ति का योग} \times \text{स्तंभ का योग}) / \text{कुल योग}\) होती है। परीक्षण सांख्यिकी \(\chi^2 = \sum (O - E)^2 / E\) होती है, जो चारों कोशिकाओं पर जोड़ी जाती है। $$\chi^2 = \frac{N\left(\text{A}\,\text{D} - \text{B}\,\text{C}\right)^2}{(\text{A}+\text{B})(\text{C}+\text{D})(\text{A}+\text{C})(\text{B}+\text{D})}$$ एक स्वतंत्रता कोटि के साथ, 5% सार्थकता स्तर पर क्रांतिक मान 3.841 है। यदि आपका χ² 3.841 से अधिक है तो आप स्वतंत्रता की निराकरणीय परिकल्पना (null hypothesis) को अस्वीकार कर देते हैं।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(A = 10\), \(B = 20\), \(C = 30\), \(D = 40\)। पंक्तियों के योग 30 और 70 हैं; स्तंभों के योग 40 और 60 हैं; कुल = 100। अपेक्षित मान 12, 18, 28, 42 हैं। तब $$\chi^2 = \frac{(10-12)^2}{12} + \frac{(20-18)^2}{18} + \frac{(30-28)^2}{28} + \frac{(40-42)^2}{42} \approx 0.3333 + 0.2222 + 0.1429 + 0.0952 \approx 0.7937$$ चूँकि 0.79 < 3.841 है, इसलिए हम स्वतंत्रता को अस्वीकार नहीं कर पाते।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यहाँ df हमेशा 1 क्यों होती है? स्वतंत्रता की कोटि \(= (\text{पंक्तियाँ} - 1)(\text{स्तंभ} - 1) = (2-1)(2-1) = 1\)।
छोटे p-मान का क्या अर्थ है? 0.05 से कम p-मान दर्शाता है कि स्वतंत्रता मानने पर देखा गया संबंध संभावना में कम है, इसलिए दोनों चर के बीच संबंध होने की प्रबल संभावना है।
क्या p-मान बिल्कुल सटीक होता है? यह 1 स्वतंत्रता कोटि वाले काई-स्क्वायर वितरण के मानक संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximation) का उपयोग करता है, जो सामान्य निर्णयों के लिए पर्याप्त सटीक है, परंतु जटिल परिस्थितियों में पूर्ण सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का विकल्प नहीं है।
