ما هو اختبار كاي تربيع للاستقلالية؟
يُستخدم اختبار كاي تربيع (\(\chi^2\)) للاستقلالية لمعرفة ما إذا كان هناك ارتباط بين متغيّرين فئويّين. في جدول التوافق ذي الحجم 2×2، يقارن الاختبار بين الأعداد التي رصدتها فعلياً والأعداد المتوقّعة لو كان المتغيّران مستقلّين تماماً. وكلّما زاد التباين بين الرصد والتوقّع ارتفعت قيمة \(\chi^2\)، ممّا يشير إلى وجود علاقة بين المتغيّرين.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أعداد الخلايا الأربع في جدولك 2×2: تُكوّن الخليتان A وB الصف الأول، بينما تُكوّن C وD الصف الثاني. تقوم الحاسبة بجمع مجاميع الصفوف ومجاميع الأعمدة والمجموع الكلّي، ثم تحسب العدد المتوقّع لكل خلية، وتجمع الانحرافات المربّعة المعيارية للحصول على قيمة \(\chi^2\). كما تعرض درجات الحرية (وهي دائماً 1 في جدول 2×2)، وقيمة احتمالية تقريبية، والقيمة الحرجة عند 0.05، وما إذا كانت النتيجة دالّة إحصائياً.
شرح المعادلة
التكرار المتوقّع لكل خلية يُحسب بالعلاقة:
$$E = \frac{\text{مجموع الصف} \times \text{مجموع العمود}}{\text{المجموع الكلّي}}$$أمّا إحصائية الاختبار فهي:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$على الخلايا الأربع جميعها. وبدرجة حرية واحدة، تكون القيمة الحرجة عند مستوى دلالة 5% مساوية لـ 3.841. فإذا تجاوزت قيمة \(\chi^2\) عندك 3.841، فإنك ترفض الفرضية الصفرية القائلة بالاستقلالية.
مثال محلول
لنفترض أنّ A = 10 وB = 20 وC = 30 وD = 40. فتكون مجاميع الصفوف 30 و70، ومجاميع الأعمدة 40 و60، والمجموع الكلّي 100. والقيم المتوقّعة هي 12 و18 و28 و42. ومن ثمّ:
$$\chi^2 = \frac{(10-12)^2}{12} + \frac{(20-18)^2}{18} + \frac{(30-28)^2}{28} + \frac{(40-42)^2}{42} \approx 0.3333 + 0.2222 + 0.1429 + 0.0952 \approx 0.7937$$وبما أنّ \(0.79 < 3.841\)، فإننا نفشل في رفض فرضية الاستقلالية.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون درجات الحرية دائماً 1 هنا؟ لأنّ درجات الحرية \(= (\text{عدد الصفوف} - 1)(\text{عدد الأعمدة} - 1) = (2-1)(2-1) = 1\).
ماذا تعني القيمة الاحتمالية الصغيرة؟ القيمة الاحتمالية الأقل من 0.05 تعني أنّ الارتباط المرصود غير مرجّح في حال الاستقلالية، أي أنّ المتغيّرين على الأرجح مترابطان.
هل القيمة الاحتمالية دقيقة تماماً؟ إنّها تعتمد على تقريب عددي قياسي لتوزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة، وهو دقيق بما يكفي للقرارات الاعتيادية، لكنه لا يُغني عن البرامج الإحصائية المتكاملة في الحالات الحدّية.
