ماذا تفعل هذه الحاسبة
تكشف لك حاسبة كاي تربيع لعدالة النرد ما إذا كان النرد سداسي الأوجه عادلاً (متوازناً) أم متحيّزاً. تُدخِل عدد مرات ظهور كل وجه (من 1 إلى 6)، فتُجري الحاسبة اختبار كاي تربيع لبيرسون لجودة المطابقة، مقارنةً عدد المرات الفعلي بالتوزيع المنتظم المتوقَّع. وبما أنها عملية إحصائية بحتة، فإنها تعمل بالطريقة نفسها في أي مكان في العالم.
كيفية الاستخدام
ارمِ النرد عدداً كبيراً من المرات وسجّل النتائج. أدخل عدد مرات ظهور كل وجه من الأوجه الستة. تحسب الأداة العدد المتوقَّع لكل وجه، وقيمة اختبار كاي تربيع، والاحتمال التراكمي (للطرف الأعلى) بأن نرداً عادلاً تماماً قد ينحرف بهذا القدر أو أكثر. الاحتمال المرتفع يعني أن النرد يبدو عادلاً، أما الاحتمال المنخفض فيشير إلى وجود تحيّز.
شرح المعادلة
ليكن \(N\) هو إجمالي عدد الرميات، و\(k = 6\) أوجه. العدد المتوقَّع لكل وجه هو \(E = N / 6\). وقيمة الاختبار هي $$x = \sum \frac{(O_i - E)^2}{E}$$ حيث \(O_i\) هو العدد الفعلي للوجه \(i\). وبدرجات حرية \(df = k - 1 = 5\)، يكون الاحتمال التراكمي هو قيمة الطرف الأعلى (دالة البقاء) لتوزيع كاي تربيع: $$P = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\tfrac{x}{2}}\right) + \sqrt{\frac{2x}{\pi}} \cdot e^{-x/2} \cdot \left(1 + \frac{x}{3}\right)$$ معبَّراً عنه كنسبة مئوية.
مثال محلول
افترض أن الأوجه ظهرت بالأعداد التالية: [3، 6، 4، 7، 2، 5]. عندئذٍ يكون \(N = 27\) و\(E = 27/6 = 4.5\). مجموع مربعات الانحرافات مقسوماً على \(E\) يساوي نحو \(3.889\). واحتمال الطرف الأعلى لكاي تربيع عند \(x = 3.889\) بدرجات حرية \(df = 5\) يبلغ تقريباً \(56.6\%\). وبما أن هذه القيمة تتجاوز \(50\%\)، يمكن اعتبار النرد عادلاً.
الأسئلة الشائعة
لماذا يبدو النرد دائماً "عادلاً" مع عدد قليل من الرميات؟ العيّنات الصغيرة تنتج قيم كاي تربيع منخفضة واحتمالات مرتفعة، لذا فالاختبار يكون متحفّظاً. ارمِ النرد عدداً كبيراً من المرات (مئات الرميات) للحصول على نتيجة ذات دلالة.
أي احتمال يُعَدّ غير عادل؟ ما فوق 50% يبدو عادلاً، ومن 20% إلى 50% غير حاسم، وما دون 20% مشكوك فيه، وما دون 5% دليل قوي على وجوب التوقف عن استخدام هذا النرد.
هل يمكنني استخدامها لأنواع أخرى من النرد؟ هذه الأداة مخصّصة لستة أوجه (\(df = 5\)). الطريقة نفسها قابلة للتعميم على \(k\) وجهاً بدرجات حرية \(df = k - 1\).
