ما هو المربع الكامل؟
المربع الكامل هو عدد صحيح ناتج عن ضرب عدد صحيح في نفسه. فمثلًا، الأعداد 1 و4 و9 و16 و25 و144 كلها مربعات كاملة لأنها تساوي \(1^2\) و\(2^2\) و\(3^2\) و\(4^2\) و\(5^2\) و\(12^2\) على الترتيب. تخبرك حاسبة المربعات الكاملة هذه على الفور بما إذا كان أي عدد صحيح تُدخله مربعًا كاملًا، وتعرض لك جذره التربيعي الدقيق.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب أي عدد صحيح غير سالب في خانة الإدخال ثم اضغط للحساب. تقوم الأداة بحساب الجذر التربيعي، ثم تأخذ الجزء الصحيح منه (أكبر عدد صحيح لا يتجاوز الجذر)، وتربّعه، وتقارن الناتج بالعدد الأصلي. فإذا تطابقا كان العدد مربعًا كاملًا، وإلا فلا.
شرح المعادلة
قاعدة الاختبار هي: يكون العدد \(n\) مربعًا كاملًا إذا وفقط إذا تحقّق أن $$\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor^{2} = n,$$ حيث يرمز \(\lfloor x \rfloor\) إلى دالة الجزء الصحيح (التقريب لأسفل). نأخذ أولًا الجذر التربيعي للعدد \(n\)، ثم نقرّبه لأسفل إلى أقرب عدد صحيح، ثم نربّع هذا العدد الصحيح. وبما أن لكل مربع كامل جذرًا صحيحًا تامًّا، فإن هذه المقارنة موثوقة تمامًا مع الأعداد الصحيحة.
مثال محلول
لنأخذ \(n = 144\). الجذر التربيعي للعدد 144 يساوي 12 تمامًا، أي أن \(\left\lfloor \sqrt{144} \right\rfloor = 12\). وبتربيعه نحصل على $$12^2 = 144,$$ وهو مساوٍ للعدد الأصلي — إذًا 144 مربع كامل. والآن لنجرّب \(n = 150\): حيث \(\sqrt{150} \approx 12.247\)، و\(\lfloor 12.247 \rfloor = 12\)، و\(12^2 = 144 \neq 150\)، وعليه فإن 150 ليس مربعًا كاملًا.
الأسئلة الشائعة
هل الصفر مربع كامل؟ نعم. فالصفر يساوي \(0^2\)، ولذلك يُعدّ الصفر مربعًا كاملًا.
هل يمكن أن تكون الأعداد السالبة مربعات كاملة؟ لا. فمربع أي عدد صحيح حقيقي يكون غير سالب، ولهذا لا تكون الأعداد السالبة أبدًا مربعات كاملة.
وماذا عن الأعداد العشرية؟ المربعات الكاملة مُعرّفة للأعداد الصحيحة فقط. أما القيم العشرية فيتم تقريبها لأسفل إلى أقرب عدد صحيح قبل إجراء الاختبار.
