ما هي حاسبة قوى العدد i؟
تُعرَّف الوحدة التخيلية i بالعلاقة \(i^2 = -1\). وعندما ترفع i إلى أُسٍّ صحيح بعد آخر، تتكرر النتائج في دورة من أربع قيم: فيكون \(i^0 = 1\)، و\(i^1 = i\)، و\(i^2 = -1\)، و\(i^3 = -i\)، ثم يعود \(i^4 = 1\) من جديد. تأخذ هذه الحاسبة أي أُسٍّ صحيح n — موجبًا كان أم صفرًا أم سالبًا — وتُعيد لك فورًا قيمة \(i^n\) كواحدة من القيم الأربع 1 أو i أو −1 أو −i، مع بيان جزئها الحقيقي والتخيلي.
طريقة الاستخدام
اكتب الأُس n في خانة الإدخال ثم اضغط على الحساب. تقوم الحاسبة بإيجاد باقي قسمة n على 4 (مع تعديلٍ يجعل الأعداد السالبة تتصرف بشكل صحيح) ثم تربط هذا الباقي بالقيمة المقابلة له. فالباقي 0 يعطي 1، والباقي 1 يعطي i، والباقي 2 يعطي −1، والباقي 3 يعطي −i.
شرح القانون
بما أن \(i^4 = 1\)، فإن الضرب في \(i^4\) لا يغيّر القيمة إطلاقًا. ولهذا تعتمد قيمة \(i^n\) على باقي قسمة n على 4 فقط. وللتعامل مع الأُسس السالبة بدقة، تستخدم الأداة الباقي الموجب الحقيقي وفق الصيغة: $$i^{n} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$ فمثلًا \(i^{-1} = 1/i = -i\)، وهو ما يقابله الباقي 3.
مثال محلول
لنحسب \(i^{13}\). نقسم 13 على 4 فيكون الباقي 1 (لأن \(13 = 4 \times 3 + 1\)). وبالتالي فإن $$i^{13} = i^1 = i$$ وجزؤه الحقيقي 0 وجزؤه التخيلي 1.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(i^0\)؟ أي عدد غير صفري مرفوع للأُس 0 يساوي 1، إذن \(i^0 = 1\).
هل تعمل الحاسبة مع الأُسس السالبة؟ نعم. فمثلًا \(i^{-2} = -1\) و\(i^{-1} = -i\)، ويُعالَج ذلك بالباقي المعدَّل.
لماذا تتكرر الدورة كل أربعة؟ لأن \(i^2 = -1\) يعني أن \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)، فنعود بذلك إلى نقطة البداية.
