¿Qué es la calculadora de potencias de i?
La unidad imaginaria i se define por \(i^2 = -1\). Al elevar i a potencias enteras sucesivas, los resultados se repiten en un ciclo de cuatro: \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\) y, de nuevo, \(i^4 = 1\). Esta calculadora admite cualquier exponente entero n —positivo, cero o negativo— y te devuelve al instante \(i^n\) como uno de los cuatro valores 1, i, −1 o −i, junto con su parte real y su parte imaginaria.
Cómo usarla
Escribe el exponente n en la casilla de entrada y pulsa calcular. La herramienta calcula n módulo 4 (ajustado para que los números negativos se comporten correctamente) y asocia el resto al valor correspondiente. Un resto de 0 da 1; 1 da i; 2 da −1; y 3 da −i.
La fórmula explicada
Como \(i^4 = 1\), multiplicar por \(i^4\) nunca altera un valor. Por eso \(i^n\) depende únicamente de n módulo 4. Para tratar bien los exponentes negativos, la herramienta utiliza un módulo verdadero:
$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$Por ejemplo, \(i^{-1} = 1/i = -i\), que se corresponde con el resto 3.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(i^{13}\). Dividimos 13 entre 4: el resto es 1 (ya que \(13 = 4 \times 3 + 1\)). Por tanto,
$$i^{13} = i^1 = i$$con parte real 0 y parte imaginaria 1.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(i^0\)? Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1, así que \(i^0 = 1\).
¿Funciona con exponentes negativos? Sí. Por ejemplo, \(i^{-2} = -1\) e \(i^{-1} = -i\), gracias al módulo ajustado.
¿Por qué se repite cada 4? Porque \(i^2 = -1\) implica que \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), volviendo al punto de partida.
