¿Qué es la distribución F no central?
La distribución F no central generaliza la distribución F ordinaria (central) al incorporar un parámetro de no centralidad lambda. Surge como la distribución del cociente entre una variable chi-cuadrado no central (dividida entre sus grados de libertad nu1) y una variable chi-cuadrado central independiente (dividida entre nu2). Es esencial en el análisis de potencia estadística: cuando una hipótesis nula es falsa, el estadístico de contraste de un ANOVA o de una prueba F de regresión sigue una F no central, y lambda mide cuánto se aleja de la hipótesis nula el efecto real. Cuando lambda = 0, la distribución se reduce a la conocida distribución F central.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué magnitud quieres calcular: la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P (la CDF, es decir, el área a la izquierda de x) o la probabilidad acumulada superior Q = 1 - P (el área a la derecha). Introduce los grados de libertad del numerador nu1, los grados de libertad del denominador nu2 y la no centralidad lambda. Después define una serie de valores de x mediante un valor inicial, un incremento (paso) y un número de repeticiones; la herramienta evalúa la función seleccionada en \(x = x_{\text{inicial}} + i \cdot \text{paso}\) para \(i = 0..n-1\) y muestra el resultado en una tabla.
La fórmula explicada
La densidad es un promedio de densidades F centrales ponderado según una distribución de Poisson. Cada peso es \(w_j = e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^{j} / j!\), la probabilidad de j sucesos en una Poisson de media \(\lambda/2\). El término j-ésimo es la densidad F central con grados de libertad \((\nu_1 + 2j, \nu_2)\), expresada mediante la función Beta \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). La probabilidad acumulada sustituye cada densidad por la CDF de la F central correspondiente, que coincide con la función Beta incompleta regularizada \(I_z(\nu_j/2, \nu_2/2)\) evaluada en \(z = \nu_j x / (\nu_2 + \nu_j x)\).
$$F(x;\nu_1,\nu_2,\lambda) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1\,x}{\nu_1\,x + \nu_2}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 2\), \(\lambda = 0\) (caso central) y calculemos P en \(x = 1\). Entonces $$z = \frac{3 \cdot 1}{2 + 3 \cdot 1} = 0{,}6$$ y \(P = I_{0,6}(1{,}5,\ 1{,}0)\). Como \(I_z(a,1) = z^a\), esto equivale a $$0{,}6^{1,5} = 0{,}464758,$$ de modo que P es aproximadamente 0,4648 y Q es aproximadamente 0,5352. Al añadir una no centralidad \(\lambda = 1\), la masa se desplaza hacia valores mayores de x, reduciendo la probabilidad inferior hasta unos \(P = 0{,}451\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando lambda = 0? El resultado es exactamente la distribución F central: solo el término j = 0 tiene peso.
¿Por qué la densidad es cero en x = 0? Para \(\nu_1 \geq 2\) la densidad vale 0 en x = 0; para \(\nu_1 < 2\) diverge hacia infinito a medida que x se acerca a 0, por lo que un valor en x = 0 no tiene sentido en ese caso.
¿Qué precisión tiene la serie? Los pesos de Poisson se suman hasta que la masa acumulada es prácticamente 1, y la función Beta incompleta se evalúa mediante una fracción continua con log-gamma para mayor estabilidad, lo que ofrece una precisión elevada en los rangos de entrada habituales.
