¿Qué es un número de Bernoulli?
Los números de Bernoulli \(B_n\) forman una célebre sucesión de números racionales que aparece por toda la matemática: en las fórmulas cerradas para sumas de potencias de enteros, en la fórmula de Euler-Maclaurin, en los valores de la función zeta de Riemann y en los desarrollos de Taylor de funciones trigonométricas e hiperbólicas. Esta calculadora construye una tabla completa de \(B_n\) en el rango de índices que elijas, mostrando cada valor como una fracción irreducible exacta (un numerador y un denominador positivo) y como su aproximación decimal.
Convenio utilizado
Existen dos convenios habituales que solo difieren en el índice 1. Esta herramienta emplea el convenio de los "primeros números de Bernoulli", con \(B_1 = -1/2\), que se corresponde con la función generatriz \(x/(e^x - 1)\). Así, \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\), y así sucesivamente. Todos los valores de índice impar mayor que 1 son exactamente cero: \(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\).
Cómo usarla
Introduce el índice mínimo \(n\) (al menos 0) y el índice máximo \(n\) (hasta 100). Elige el número de cifras significativas para la columna decimal: es solo un ajuste de visualización y nunca altera la fracción exacta. Pulsa calcular para obtener una fila por cada entero \(n\) del rango.
La fórmula explicada
Cada \(B_n\) se calcula mediante la recurrencia $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k,$$ partiendo de \(B_0 = 1\). Todos los pasos se realizan en aritmética racional exacta con enteros de precisión arbitraria, de modo que no hay desbordamiento de coma flotante: las hojas de cálculo habituales suelen fallar cerca de \(n = 18\), pero esta herramienta mantiene la exactitud mucho más allá.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 2\) la recurrencia da $$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\cdot 1 + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2},$$ así que \(B_2 = -\tfrac{1}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6}\), que equivale a \(0{,}1666\dots\) en decimal. Del mismo modo, \(B_4 = -1/30\) y \(B_6 = 1/42\).
Términos y símbolos clave
- \(B_n\) (número de Bernoulli)
- El \(n\)-ésimo miembro de una sucesión de números racionales que aparece en toda la teoría de números y el análisis. Los primeros valores (usando la convención \(B_1=-\tfrac12\)) son \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\). Todos los números de Bernoulli con índice impar \(n\ge 3\) son exactamente \(0\).
- Función generadora \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- La función generadora exponencial que define los números de Bernoulli a través del desarrollo en serie de potencias $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ El coeficiente de \(x^n/n!\) en esta serie es precisamente \(B_n\). Esta convención da como resultado \(B_1=-\tfrac12\).
- Coeficiente binomial \(\binom{n+1}{k}\)
- El número de formas de elegir \(k\) elementos de \(n+1\), igual a \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\). Estos coeficientes son los pesos aplicados a cada número de Bernoulli anterior dentro de la relación de recurrencia utilizada para construir la tabla.
- Relación de recurrencia
- Una fórmula que expresa cada \(B_n\) en términos de todos los valores de índice inferior \(B_0,\dots,B_{n-1}\): $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ Comenzando desde \(B_0=1\), genera la sucesión completa un índice a la vez.
- Fracción exacta (reducida)
- Una representación de \(B_n\) como una razón \(p/q\) de números enteros en términos mínimos, donde \(\gcd(p,q)=1\) — por ejemplo \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\). Como cada número de Bernoulli es racional, una fracción exacta no pierde precisión, a diferencia de un decimal redondeado.
- Las dos convenciones
- Los autores difieren solo en el signo del único término \(B_1\). La convención moderna utilizada aquí establece \(B_1=-\tfrac12\) (coincidiendo con la función generadora \(x/(e^x-1)\)); una convención anterior establece \(B_1=+\tfrac12\) (coincidiendo con \(x/(1-e^{-x})\)). Todos los demás \(B_n\) son idénticos en ambas convenciones, por lo que cualquier tabla es inequívoca una vez que se indica el valor de \(B_1\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(B_1\) vale menos un medio? Porque usamos el convenio de la función generatriz \(x/(e^x - 1)\). El otro convenio, el "segundo", fija \(B_1 = +1/2\); todo lo demás es idéntico.
¿Por qué son cero la mayoría de los términos impares? La función \(x/(e^x - 1) + x/2\) es par, lo que obliga a que se anule todo número de Bernoulli de índice impar igual o mayor que 3.
¿Afecta el ajuste de precisión a la exactitud? No. La fracción siempre es exacta; la precisión solo redondea el decimal que se muestra.
