Что такое число Бернулли?
Числа Бернулли \(B_n\) — это знаменитая последовательность рациональных чисел, которая встречается в самых разных разделах математики: в формулах замкнутого вида для сумм степеней целых чисел, в формуле Эйлера — Маклорена, в значениях дзета-функции Римана, а также в разложениях в ряд Тейлора тригонометрических и гиперболических функций. Этот калькулятор строит полную таблицу \(B_n\) для любого выбранного диапазона индексов, выводя каждое значение и как точную несократимую дробь (числитель и положительный знаменатель), и как десятичное приближение.
Какое соглашение используется
Существуют два распространённых соглашения, которые различаются только в индексе 1. Здесь используется соглашение «первых чисел Бернулли» с \(B_1 = -1/2\), соответствующее производящей функции \(x/(e^x - 1)\). Таким образом, \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\) и так далее. Все значения с нечётным индексом, большим 1, в точности равны нулю: \(B_3 = B_5 = B_7 = \ldots = 0\).
Как пользоваться калькулятором
Укажите минимальный индекс \(n\) (не меньше 0) и максимальный индекс \(n\) (не больше 100). Выберите количество значащих цифр для десятичного столбца — это исключительно настройка отображения, которая никак не влияет на точную дробь. Нажмите «Рассчитать», и вы получите по одной строке для каждого целого \(n\) из заданного диапазона.
Разбор формулы
Каждое значение \(B_n\) вычисляется по рекуррентному соотношению $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k,$$ начиная с \(B_0 = 1\). Все шаги выполняются в точной рациональной арифметике с целыми числами произвольной точности, поэтому переполнения чисел с плавающей точкой здесь не возникает — обычные электронные таблицы, как правило, «ломаются» уже около \(n = 18\), тогда как этот калькулятор сохраняет точность намного дальше.
Разобранный пример
Для \(n = 2\) рекуррентное соотношение даёт $$\sum_{k=0}^{1}\binom{3}{k}B_k = 1\cdot 1 + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2},$$ откуда \(B_2 = -\tfrac{1}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6}\), что в десятичном виде равно \(0{,}1666\ldots\) Аналогично \(B_4 = -\tfrac{1}{30}\) и \(B_6 = \tfrac{1}{42}\).
Частые вопросы
Почему \(B_1\) равно минус одной второй? Потому что мы используем соглашение производящей функции \(x/(e^x - 1)\). Альтернативное «второе» соглашение задаёт \(B_1 = +1/2\); всё остальное остаётся точно таким же.
Почему почти все нечётные члены равны нулю? Функция \(x/(e^x - 1) + x/2\) является чётной, и именно это обращает в нуль все числа Бернулли с нечётным индексом 3 и выше.
Влияет ли настройка точности на правильность результата? Нет. Дробь всегда остаётся точной; точность лишь округляет отображаемое десятичное значение.
Ключевые термины и символы
- \(B_n\) (число Бернулли)
- \(n\)-й элемент последовательности рациональных чисел, который появляется во всей теории чисел и анализе. Первые несколько значений (с использованием соглашения \(B_1=-\tfrac12\)) — это \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\). Все числа Бернулли с нечётным индексом \(n\ge 3\) в точности равны \(0\).
- Производящая функция \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- Экспоненциальная производящая функция, которая определяет числа Бернулли через разложение в степенной ряд $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ Коэффициент при \(x^n/n!\) в этом ряду — это в точности \(B_n\). Это соглашение даёт \(B_1=-\tfrac12\).
- Биномиальный коэффициент \(\binom{n+1}{k}\)
- Количество способов выбрать \(k\) предметов из \(n+1\), равное \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\). Эти коэффициенты — веса, применяемые к каждому предыдущему числу Бернулли внутри рекуррентного соотношения, используемого для построения таблицы.
- Рекуррентное соотношение
- Формула, выражающая каждое \(B_n\) через все значения с меньшими индексами \(B_0,\dots,B_{n-1}\): $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ Начиная с \(B_0=1\), она генерирует всю последовательность по одному индексу за раз.
- Точная (несократимая) дробь
- Представление \(B_n\) в виде отношения \(p/q\) целых чисел в несократимом виде, где \(\gcd(p,q)=1\) — например \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\). Поскольку каждое число Бернулли рационально, точная дробь не теряет точность, в отличие от округлённой десятичной дроби.
- Два соглашения
- Авторы различаются только в знаке единственного члена \(B_1\). Современное соглашение, используемое здесь, устанавливает \(B_1=-\tfrac12\) (соответствуя производящей функции \(x/(e^x-1)\)); более старое соглашение устанавливает \(B_1=+\tfrac12\) (соответствуя \(x/(1-e^{-x})\)). Все остальные \(B_n\) идентичны в обоих соглашениях, поэтому любая таблица однозначна, когда указано значение \(B_1\).
