什麼是伯努利數？
伯努利數 \(B_n\) 是一組著名的有理數序列，廣泛出現在各個數學領域：包括整數冪次和的封閉公式、歐拉—麥克勞林（Euler-Maclaurin）公式、黎曼 ζ 函數（Riemann zeta function）的取值，以及三角函數與雙曲函數的泰勒展開式中。本計算機會在您選定的任意索引範圍內，建立完整的 \(B_n\) 表格，並將每個數值同時以「最簡分數」（含分子與正分母）以及「小數近似值」兩種形式呈現。
採用的慣例
伯努利數有兩種常見慣例，差別僅出現在索引 1 這一項。本工具採用「第一類伯努利數」慣例，即 \(B_1 = -1/2\)，對應母函數 \(x/(e^x - 1)\)。因此 \(B_0 = 1\)、\(B_1 = -1/2\)、\(B_2 = 1/6\)、\(B_4 = -1/30\)，依此類推。而所有大於 1 的奇數索引項皆恰好為零：\(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\)。
使用方式
輸入索引 \(n\) 的最小值（至少為 0）與最大值（最高可達 100）。再選擇小數欄位要顯示的有效位數——這純粹是顯示設定，完全不會改變精確分數的數值。按下計算後，範圍內每個整數 \(n\) 都會對應一列結果。
公式說明
每個 \(B_n\) 都由遞迴關係式求得：
$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$並以 \(B_0 = 1\) 為起點。所有運算皆採用任意精度整數的精確有理數運算，因此不會發生浮點數溢位——一般試算表通常在 \(n = 18\) 附近便會失準，而本工具即使遠超過此值仍能保持完全精確。
實例演算
當 \(n = 2\) 時，遞迴式給出
$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$因此
$$B_2 = -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6}$$化為小數即 \(0.1666\dots\)。同理可得 \(B_4 = -1/30\) 與 \(B_6 = 1/42\)。
關鍵術語與符號
- \(B_n\)（伯努利數）
- \(n\) 次的有理數序列成員，出現在整數論和分析學中。前幾個值（使用 \(B_1=-\tfrac12\) 約定）是 \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\)。所有奇數索引 \(n\ge 3\) 的伯努利數都正好是 \(0\)。
- 生成函數 \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- 定義伯努利數的指數生成函數，通過冪級數展開 $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$本級數中 \(x^n/n!\) 的係數正好是 \(B_n\)。此約定產生 \(B_1=-\tfrac12\)。
- 二項式係數 \(\binom{n+1}{k}\)
- 從 \(n+1\) 中選擇 \(k\) 個物品的方式數，等於 \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\)。這些係數是應用於遞推關係內每個早期伯努利數的權重，用於構建表格。
- 遞推關係
- 用所有較低索引值 \(B_0,\dots,B_{n-1}\) 表示每個 \(B_n\) 的公式：$$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$從 \(B_0=1\) 開始，它逐個索引地生成整個序列。
- 精確（最簡）分數
- \(B_n\) 作為最簡形式的整數比 \(p/q\) 的表示，其中 \(\gcd(p,q)=1\)——例如 \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\)。因為每個伯努利數都是有理數，精確分數不會像舍入的十進制一樣損失精度。
- 兩種約定
- 作者只在單一項 \(B_1\) 的符號上有所不同。此處使用的現代約定設定 \(B_1=-\tfrac12\)（與生成函數 \(x/(e^x-1)\) 匹配）；較舊的約定設定 \(B_1=+\tfrac12\)（與 \(x/(1-e^{-x})\) 匹配）。所有其他 \(B_n\) 在兩種約定中都相同，因此一旦說明 \(B_1\) 的值，任何表格都是明確的。
常見問題
為什麼 \(B_1\) 是負二分之一？因為我們採用 \(x/(e^x - 1)\) 這個母函數慣例。另一種「第二類」慣例則設定 \(B_1 = +1/2\)；除此之外其餘各項完全相同。
為什麼大多數奇數項都是零？因為函數 \(x/(e^x - 1) + x/2\) 是偶函數，這使得所有索引為 3 或更高奇數的伯努利數都必然消失為零。
精度設定會影響準確度嗎？不會。分數永遠是精確的；精度設定只會對顯示的小數進行四捨五入。
