Số Bernoulli là gì?
Số Bernoulli \(B_n\) là một dãy số hữu tỉ nổi tiếng xuất hiện ở khắp các lĩnh vực toán học: trong công thức dạng đóng cho tổng lũy thừa của các số nguyên, trong công thức Euler-Maclaurin, trong các giá trị của hàm zeta Riemann, và trong khai triển Taylor của các hàm lượng giác cũng như hàm hyperbolic. Công cụ này lập một bảng đầy đủ các giá trị \(B_n\) trên bất kỳ khoảng chỉ số nào bạn chọn, hiển thị mỗi giá trị vừa dưới dạng phân số tối giản chính xác (tử số và mẫu số dương) vừa dưới dạng xấp xỉ thập phân.
Quy ước được sử dụng
Có hai quy ước phổ biến, chỉ khác nhau ở chỉ số 1. Công cụ này dùng quy ước "số Bernoulli thứ nhất" với \(B_1 = -1/2\), tương ứng với hàm sinh \(x/(e^x - 1)\). Như vậy \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\), và cứ thế. Mọi giá trị có chỉ số lẻ lớn hơn 1 đều bằng đúng 0: \(B_3 = B_5 = B_7 = \ldots = 0\).
Cách sử dụng
Nhập chỉ số \(n\) nhỏ nhất (tối thiểu là 0) và chỉ số \(n\) lớn nhất (tối đa là 100). Chọn số chữ số có nghĩa cho cột thập phân — đây chỉ là thiết lập hiển thị và không bao giờ làm thay đổi phân số chính xác. Nhấn tính toán để nhận một dòng kết quả cho mỗi số nguyên \(n\) trong khoảng đã chọn.
Giải thích công thức
Mỗi \(B_n\) được tính bằng công thức truy hồi
$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$bắt đầu từ \(B_0 = 1\). Mọi bước đều được thực hiện bằng số học hữu tỉ chính xác với số nguyên có độ chính xác tùy ý, nên không xảy ra tràn số dấu phẩy động — các bảng tính thông thường thường sai số quanh \(n = 18\), nhưng công cụ này vẫn giữ độ chính xác tuyệt đối vượt xa mức đó.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 2\), công thức truy hồi cho
$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\cdot 1 + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2},$$nên
$$B_2 = -\tfrac{1}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6},$$tương đương \(0{,}1666\ldots\) dưới dạng thập phân. Tương tự, \(B_4 = -1/30\) và \(B_6 = 1/42\).
Các Thuật Ngữ & Ký Hiệu Chính
- \(B_n\) (số Bernoulli)
- Phần tử thứ \(n\) của một dãy số hữu tỉ xuất hiện trong toàn bộ lý thuyết số và giải tích. Một vài giá trị đầu tiên (sử dụng quy ước \(B_1=-\tfrac12\)) là \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\). Tất cả các số Bernoulli có chỉ số lẻ \(n\ge 3\) đều chính xác bằng \(0\).
- Hàm sinh \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- Hàm sinh mũ định nghĩa các số Bernoulli thông qua khai triển chuỗi lũy thừa $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ Hệ số của \(x^n/n!\) trong chuỗi này chính xác là \(B_n\). Quy ước này cho ra \(B_1=-\tfrac12\).
- Hệ số nhị thức \(\binom{n+1}{k}\)
- Số cách chọn \(k\) phần tử từ \(n+1\), bằng \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\). Các hệ số này là các trọng số được áp dụng cho mỗi số Bernoulli trước đó bên trong hệ thức truy hồi dùng để xây dựng bảng.
- Hệ thức truy hồi
- Một công thức biểu diễn mỗi \(B_n\) theo tất cả các giá trị có chỉ số thấp hơn \(B_0,\dots,B_{n-1}\): $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ Bắt đầu từ \(B_0=1\), nó sinh ra toàn bộ dãy một chỉ số tại một thời điểm.
- Phân số chính xác (tối giản)
- Một biểu diễn của \(B_n\) dưới dạng tỉ số \(p/q\) của các số nguyên ở dạng tối giản, trong đó \(\gcd(p,q)=1\) — ví dụ như \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\). Vì mỗi số Bernoulli đều là số hữu tỉ, một phân số chính xác không mất độ chính xác, không giống như một số thập phân được làm tròn.
- Hai quy ước
- Các tác giả khác nhau chỉ ở dấu của một số hạng duy nhất \(B_1\). Quy ước hiện đại được sử dụng ở đây đặt \(B_1=-\tfrac12\) (phù hợp với hàm sinh \(x/(e^x-1)\)); một quy ước cũ hơn đặt \(B_1=+\tfrac12\) (phù hợp với \(x/(1-e^{-x})\)). Tất cả các \(B_n\) khác đều giống nhau trong cả hai quy ước, do đó bất kỳ bảng nào cũng rõ ràng một khi giá trị của \(B_1\) được nêu rõ.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(B_1\) bằng âm một phần hai? Vì chúng ta dùng quy ước hàm sinh \(x/(e^x - 1)\). Quy ước "thứ hai" thay thế đặt \(B_1 = +1/2\); mọi giá trị còn lại đều giống hệt nhau.
Vì sao hầu hết các số hạng có chỉ số lẻ đều bằng 0? Vì hàm \(x/(e^x - 1) + x/2\) là hàm chẵn, điều này buộc mọi số Bernoulli có chỉ số lẻ từ 3 trở lên phải triệt tiêu.
Thiết lập độ chính xác có ảnh hưởng đến kết quả không? Không. Phân số luôn chính xác tuyệt đối; độ chính xác chỉ làm tròn giá trị thập phân được hiển thị.
