Ký hiệu Pochhammer là gì?
Ký hiệu Pochhammer \((x)_n\), còn được gọi là giai thừa tăng (và viết là \(x^{(n)}\) hoặc x kèm dấu gạch ngang trên đầu kèm n), là tích của n số nguyên liên tiếp bắt đầu từ x. Đây là một khái niệm nền tảng trong tổ hợp, các hàm đặc biệt và lý thuyết chuỗi siêu bội. Máy tính này dùng quy ước tăng dần; đây không phải là giai thừa giảm.
Công thức
Với số nguyên \(n \ge 1\), ta có $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1),$$ tức là tích của n số hạng. Theo quy ước tích rỗng thì \((x)_0 = 1\), và \((x)_1 = x\). Một cách tương đương, $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Khi \(x = 1\), giai thừa tăng trở thành giai thừa thông thường: \((1)_n = n!\).
Cách sử dụng máy tính bảng
Nhập cơ số x cố định, giá trị đầu tiên của n, bước nhảy (mức tăng) của n giữa các dòng, và số dòng bạn muốn hiển thị. Công cụ sẽ tính \(n = \text{initialN} + k\cdot\text{stepN}\) với \(k = 0,\, 1,\, \dots,\, \text{rowCount}-1\) và liệt kê từng giá trị n cùng với giá trị giai thừa tăng tương ứng. Bước nhảy âm sẽ tạo ra dãy n giảm dần; trường hợp n âm được xử lý thông qua mở rộng nghịch đảo.
Ví dụ minh họa
Với x = 5, n ban đầu = 1, bước nhảy 1 và 8 dòng, bạn sẽ thu được \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) và \((5)_8 = 19958400\). Các giá trị tăng theo cấp giai thừa, nên đồ thị dựng lên rất dốc.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao \((x)_0\) luôn bằng 1? Vì đó là một tích rỗng, mà theo định nghĩa thì tích rỗng luôn bằng 1, bất kể x là bao nhiêu.
Điều gì xảy ra khi x là số nguyên không dương? Tích sẽ đi qua giá trị không. Ví dụ \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) — đây là kết quả đúng, không phải lỗi.
Giá trị có thể bị tràn số không? Có. Giai thừa tăng tăng cực kỳ nhanh, nên với n lớn, kết quả độ chính xác kép có thể trở nên rất lớn hoặc vô hạn. Hãy giữ n ở mức vừa phải để có con số chính xác.
