Công cụ lập bảng hàm Airy là gì?
Công cụ này tính hai hàm Airy là \(\text{Ai}(x)\) và \(\text{Bi}(x)\), kèm theo (tùy chọn) các đạo hàm \(\text{Ai}'(x)\) và \(\text{Bi}'(x)\), trên một khoảng giá trị thực của \(x\). Hàm Airy là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân Airy \(y'' - x\,y = 0\). Chúng xuất hiện rộng rãi trong vật lý: trong cơ học lượng tử, chúng mô tả hàm sóng gần điểm dừng cổ điển; ngoài ra, chúng còn xuất hiện trong quang học, giải tích tiệm cận và lý thuyết về cầu vồng.
Cách sử dụng
Nhập giá trị \(x\) bắt đầu, giá trị \(x\) kết thúc và bước nhảy. Công cụ sẽ tạo một dòng cho mỗi giá trị \(x\), từ \(x\) bắt đầu đến \(x\) kết thúc (bao gồm cả hai đầu mút). Tích vào ô đạo hàm để hiển thị thêm \(\text{Ai}'(x)\) và \(\text{Bi}'(x)\). Đồ thị vẽ \(\text{Ai}(x)\) và \(\text{Bi}(x)\) theo \(x\), giúp bạn thấy rõ Ai suy giảm khi \(x\) dương, còn cả hai hàm cùng dao động khi \(x\) âm.
Công thức
Dùng khai triển chuỗi quanh gốc tọa độ với \(\alpha = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\) và \(\beta = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\):
$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ trong đó \(f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \dots\) và \(g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \dots\) Khi \(|x|\) lớn hơn khoảng 8, công cụ chuyển sang dạng tiệm cận với \(\zeta = \frac{2}{3}|x|^{3/2}\) để tránh sai số do triệt tiêu.
Ví dụ minh họa
Tại \(x = 0\): \(f(0)=1\), \(g(0)=0\), nên \(\text{Ai}(0) = \alpha = 0.3550281\) và \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\,\alpha = 0.6149266\). Tại \(x = 1\): \(f(1) \approx 1.1722535\) và \(g(1) \approx 1.0853407\), cho ra \(\text{Ai}(1) \approx 0.1352924\) và \(\text{Bi}(1) \approx 1.2074236\), khớp với các giá trị trong bảng tra cứu.
Định nghĩa & Bảng Thuật ngữ
- Hàm Airy loại thứ nhất, \(\text{Ai}(x)\)
- Nghiệm của phương trình Airy mà tiến tới không khi \(x \to +\infty\). Với \(x\) dương lớn, nó giảm như \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\); với \(x\) âm nó dao động với bước sóng tăng chậm.
- Hàm Airy loại thứ hai, \(\text{Bi}(x)\)
- Nghiệm thứ hai, độc lập tuyến tính. Nó tăng như \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) khi \(x \to +\infty\) và, giống như Ai, dao động với \(x<0\).
- Phương trình vi phân Airy, \(y'' - xy = 0\)
- Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai đơn giản nhất có một điểm quay tại gốc tọa độ. Nghiệm tổng quát của nó là \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\). Nó xuất hiện trong quang học, cơ học lượng tử (một hạt trong thế năng tuyến tính), và phân tích WKB của các bài toán sóng.
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- Biến pha/suy giảm tự nhiên cho các hàm Airy. Nó điều chỉnh sự tăng trưởng và suy giảm mũ với \(x>0\) và pha dao động với \(x<0\), xuất hiện trong toàn bộ các khai triển tiệm cận.
- Điểm quay
- Một giá trị của \(x\) tại đó hành vi của phương trình thay đổi tính chất. Đối với \(y'' - xy = 0\) điểm quay là tại \(x=0\): nghiệm là dao động với \(x<0\) (nơi mà hệ số \(-x\) dương) và hàm mũ (tăng hoặc giảm) với \(x>0\).
- Khai triển tiệm cận
- Một chuỗi trong các lũy thừa nghịch đảo của \(\zeta\) (hoặc \(x^{3/2}\)) xấp xỉ Ai và Bi chính xác với \(|x|\) lớn. Nó không cần phải hội tụ, nhưng vài số hạng đầu tiên cung cấp độ chính xác tuyệt vời ở xa gốc tọa độ, nơi mà chuỗi lũy thừa của công thức trong tab hội tụ chậm.
- Wronskian
- Định thức \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\). Một Wronskian hằng số khác không (ở đây \(1/\pi\)) xác nhận rằng Ai và Bi độc lập tuyến tính và do đó tạo thành một cơ sở nghiệm hoàn chỉnh.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao Bi(x) tăng vọt? Với \(x\) dương lớn, \(\text{Bi}(x)\) tăng theo \(\exp(\zeta)\) và vượt quá khả năng biểu diễn của số thực độ chính xác kép (double) khi \(x\) lớn hơn khoảng 230. Hãy giữ cận trên ở mức vừa phải.
Vì sao các hàm lượn sóng khi x âm? Khi \(x\) tiến tới âm vô cực, cả hai hàm đều dao động với biên độ suy giảm theo \(|x|^{-1/4}\).
Dùng đơn vị nào? Không có đơn vị nào — \(x\) là một số thực thuần túy và các giá trị đầu ra đều không thứ nguyên.
