Số tháp vuông là gì?
Số tháp vuông (square pyramidal number) cho biết tổng số quả bóng (hoặc khối cầu, khối lập phương đơn vị) khi bạn xếp chúng thành một hình tháp có đáy hình vuông. Tầng trên cùng chỉ có 1 quả bóng, tầng kế tiếp là hình vuông 2x2 = 4 quả, tầng thứ ba là 3x3 = 9 quả, và tầng đáy của tháp gồm n tầng sẽ có n x n quả bóng. Cộng tất cả các tầng lại, ta được số tháp vuông P(n). Dãy số này bắt đầu bằng 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ... và được ghi nhận trong OEIS với mã A000330.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập số tầng xếp chồng \(n\) (một số nguyên không âm), máy tính sẽ trả về \(P(n)\) — tổng số quả bóng trong toàn bộ tháp. Công cụ này rất tiện cho các bài toán xếp đạn pháo, trưng bày cam hay trái cây thành hình tháp, các bài tập lý thuyết số trên lớp, hoặc bất cứ khi nào bạn cần tính nhanh tổng của \(n\) số chính phương đầu tiên.
Giải thích công thức
Theo định nghĩa, \(P(n)\) là tổng của \(n\) số chính phương đầu tiên: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\). Tổng này có một công thức dạng đóng (closed form) rất gọn gàng:
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
Tích \(n(n + 1)(2n + 1)\) luôn chia hết cho 6, nên với mọi số nguyên \(n\), kết quả luôn là một số nguyên chính xác. \(P(0) = 0\) tương ứng với một tháp rỗng, còn số tầng âm không có ý nghĩa thực tế (ở đây chúng được xem như bằng 0).
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn xếp 4 tầng. Cộng các số chính phương: \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). Dùng công thức dạng đóng:
$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \text{ quả bóng}$$Kiểm tra với số lớn hơn: với \(n = 10\), kết quả là
$$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 \text{ quả bóng}$$Câu hỏi thường gặp
Khi \(n = 0\) thì sao? \(P(0) = 0\), tức là một tháp rỗng không có quả bóng nào.
\(n\) có thể là số thập phân không? Công thức dạng đóng vẫn tính ra giá trị, nhưng số tháp vuông chỉ có ý nghĩa thực tế khi số tầng là số nguyên không âm.
Giá trị tăng nhanh đến mức nào? Với \(n\) lớn, giá trị tăng xấp xỉ theo \(n^3\) chia cho 3, nên những tháp rất cao chứa số lượng quả bóng khổng lồ.
