Qu'est-ce qu'un nombre pyramidal carré ?
Un nombre pyramidal carré compte le nombre total de billes (ou de sphères, ou de cubes unitaires) obtenu lorsqu'on les empile en une pyramide à base carrée. La couche supérieure contient une seule bille, la suivante forme un carré de \(2 \times 2 = 4\), la troisième un carré de \(3 \times 3 = 9\), et la couche inférieure d'un empilement de n couches compte \(n \times n\) billes. En additionnant toutes les couches, on obtient le nombre pyramidal carré P(n). La suite débute par 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140… et est référencée sous le numéro OEIS A000330.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de couches empilées n (un entier positif ou nul) : le calculateur affiche P(n), c'est-à-dire le nombre total de billes dans l'empilement complet. Pratique pour les casse-têtes d'empilement de boulets de canon, les étalages d'oranges ou de fruits, les exercices de théorie des nombres en classe, ou chaque fois que vous avez besoin de calculer rapidement la somme des n premiers carrés parfaits.
La formule expliquée
Par définition, P(n) est la somme des n premiers carrés : \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\). Cette somme possède une formule fermée élégante :
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
Le produit \(n(n + 1)(2n + 1)\) est toujours divisible par 6 : pour tout entier n, le résultat est donc un nombre entier exact. \(P(0) = 0\) correspond à un empilement vide, et un nombre de couches négatif n'a aucun sens physique (il est ici considéré comme 0).
Exemple concret
Supposons que vous empiliez 4 couches. En additionnant les carrés : \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). Avec la formule fermée :
$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \text{ billes.}$$Vérifions avec un exemple plus grand : pour \(n = 10\), on obtient
$$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 \text{ billes.}$$FAQ
Que se passe-t-il pour n = 0 ? \(P(0) = 0\), soit une pyramide vide sans aucune bille.
n peut-il être une fraction ? La formule fermée peut toujours être évaluée, mais un nombre pyramidal carré n'a de sens physique que pour un nombre de couches entier et positif ou nul.
À quelle vitesse augmente-t-il ? Pour de grandes valeurs de n, le résultat croît à peu près comme n au cube divisé par 3 : les empilements très hauts contiennent donc un nombre colossal de billes.
