¿Qué es un número piramidal cuadrado?
Un número piramidal cuadrado cuenta el total de bolas (o esferas o cubos unitarios) que obtienes al apilarlas formando una pirámide de base cuadrada. La capa superior es una sola bola, la siguiente forma un cuadrado de \(2\times2 = 4\), la tercera es \(3\times3 = 9\) y la capa inferior de una pirámide de n capas tiene \(n \times n\) bolas. Al sumar todas las capas obtienes el número piramidal cuadrado \(P(n)\). La sucesión comienza con 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … y está catalogada como OEIS A000330.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de capas apiladas \(n\) (un número entero no negativo) y la calculadora te devuelve \(P(n)\), la cantidad total de bolas de la pila completa. Resulta ideal para los acertijos de apilamiento de balas de cañón, las exhibiciones de naranjas o fruta, los ejercicios de teoría de números en clase o cualquier momento en que necesites la suma de los primeros n cuadrados perfectos de forma rápida.
La fórmula explicada
Por definición, \(P(n)\) es la suma de los primeros n números cuadrados: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2\). Esta suma tiene una elegante forma cerrada:
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
El producto \(n(n + 1)(2n + 1)\) siempre es divisible entre 6, así que para cualquier número entero n el resultado es un número entero exacto. \(P(0) = 0\) representa una pila vacía, y un número negativo de capas no tiene sentido físico (aquí se trata como 0).
Ejemplo resuelto
Supón que apilas 4 capas. Sumando cuadrados: \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). Con la forma cerrada:
$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \text{ bolas}$$Una comprobación mayor: para \(n = 10\), el resultado es
$$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 \text{ bolas}$$Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre con n = 0? \(P(0) = 0\), una pirámide vacía sin ninguna bola.
¿Puede n ser una fracción? La expresión en forma cerrada sigue dando un valor, pero un número piramidal cuadrado solo tiene sentido físico para un número de capas entero y no negativo.
¿Con qué rapidez crece? Para valores grandes de n, el resultado crece aproximadamente como \(n^3\) dividido entre 3, de modo que las pilas muy altas contienen cantidades enormes de bolas.
