사각뿔수란?
사각뿔수(square pyramidal number)는 공(또는 단위 구나 정육면체)을 정사각형 밑면을 가진 피라미드 모양으로 쌓았을 때 들어가는 공의 총 개수를 나타냅니다. 맨 위층은 공 1개, 그 아래층은 \(2\times 2 = 4\)개, 세 번째 층은 \(3\times 3 = 9\)개가 되고, n개 층으로 쌓았을 때 맨 아래층은 \(n\times n\)개의 공으로 이루어집니다. 모든 층을 더한 값이 바로 사각뿔수 \(P(n)\)입니다. 이 수열은 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … 으로 시작하며 OEIS A000330으로 등록되어 있습니다.
계산기 사용법
쌓은 층의 개수 \(n\)(0 이상의 정수)을 입력하면, 계산기가 전체 더미에 들어가는 공의 총 개수 \(P(n)\)을 알려줍니다. 포탄 쌓기 퍼즐, 오렌지나 과일 진열 계산, 수학 수업의 정수론 연습 문제, 또는 처음 n개의 제곱수의 합을 빠르게 구해야 할 때 활용할 수 있습니다.
공식 풀이
정의에 따라 \(P(n)\)은 처음 n개 제곱수의 합입니다: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2\). 이 합은 다음과 같은 깔끔한 닫힌 형태로 정리됩니다.
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$\(n(n + 1)(2n + 1)\)이라는 곱은 항상 6으로 나누어떨어지므로, 어떤 정수 n을 넣어도 결과는 정확한 정수가 됩니다. \(P(0) = 0\)은 비어 있는 더미를 의미하며, 음수 층은 물리적으로 의미가 없으므로 여기서는 0으로 처리합니다.
예제 풀이
층을 4개 쌓는다고 해봅시다. 제곱수를 더하면 \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\)입니다. 닫힌 형태 공식으로 계산하면 $$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30$$개의 공이 됩니다. 좀 더 큰 값으로 확인해 보면, \(n = 10\)일 때 결과는 $$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$개의 공입니다.
자주 묻는 질문
n = 0이면 어떻게 되나요? \(P(0) = 0\)으로, 공이 하나도 없는 빈 피라미드를 뜻합니다.
n이 분수일 수도 있나요? 닫힌 형태 공식 자체는 분수를 넣어도 계산되지만, 사각뿔수는 0 이상의 정수 층 개수에 대해서만 물리적으로 의미가 있습니다.
값이 얼마나 빠르게 커지나요? n이 커지면 값은 대략 \(n^3\)을 3으로 나눈 정도로 증가하므로, 아주 높은 더미에는 엄청난 수의 공이 들어갑니다.
