Kare piramit sayısı nedir?
Kare piramit sayısı, topları (ya da birim küreleri veya küpleri) kare tabanlı bir piramit şeklinde üst üste dizdiğinizde elde ettiğiniz toplam top sayısını verir. En tepedeki katmanda tek bir top vardır, bir alttaki katman \(2\times 2 = 4\)'lük bir kare, üçüncü katman \(3\times 3 = 9\) ve \(n\) katmanlı bir yığının en alt katmanı ise \(n\times n\) top içerir. Tüm katmanları topladığınızda kare piramit sayısı \(P(n)\)'yi bulursunuz. Bu dizi 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ... şeklinde başlar ve OEIS A000330 olarak kataloglanmıştır.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Dizili katman sayısı \(n\)'yi (negatif olmayan bir tam sayı) girin; araç size tüm yığındaki toplam top sayısını, yani \(P(n)\)'yi versin. Gülle istifleme bulmacaları, portakal ya da meyve sergileri, sınıf içi sayılar teorisi alıştırmaları için ya da ilk \(n\) tam karenin toplamına hızlıca ihtiyaç duyduğunuz her durumda işinize yarar.
Formülün açıklaması
Tanım gereği \(P(n)\), ilk \(n\) kare sayının toplamıdır: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\). Bu toplamın şık bir kapalı biçimi vardır:
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
\(n(n + 1)(2n + 1)\) çarpımı her zaman 6'ya tam bölünür; dolayısıyla herhangi bir tam sayı \(n\) için sonuç her zaman tam bir sayı çıkar. \(P(0) = 0\) boş bir yığını temsil eder; negatif katman sayıları ise fiziksel olarak anlamlı değildir (burada 0 olarak kabul edilirler).
Çözümlü örnek
Diyelim ki 4 katman üst üste dizdiniz. Kareleri toplayarak: \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). Kapalı biçimi kullanarak: $$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \text{ top}.$$ Daha büyük bir kontrol: \(n = 10\) için sonuç $$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 \text{ top}$$ olur.
Sıkça Sorulan Sorular
\(n = 0\) olduğunda ne olur? \(P(0) = 0\) olur; yani hiç topu olmayan boş bir piramit.
\(n\) bir kesir olabilir mi? Kapalı biçim ifadesi yine de bir sonuç verir, ancak kare piramit sayısı yalnızca tam ve negatif olmayan katman sayıları için fiziksel olarak anlamlıdır.
Ne kadar hızlı büyür? Büyük \(n\) değerleri için sonuç kabaca \(n\) küpün üçe bölümü kadar büyür; bu yüzden çok yüksek yığınlar muazzam sayıda top içerir.
