Что такое квадратное пирамидальное число?
Квадратное пирамидальное число показывает, сколько всего шаров (или единичных сфер либо кубиков) получится, если сложить их в пирамиду с квадратным основанием. На самом верху лежит один шар, в следующем слое — квадрат 2×2 = 4, в третьем — 3×3 = 9, а в нижнем слое из n уровней располагается n × n шаров. Суммируя все слои, мы получаем квадратное пирамидальное число P(n). Последовательность начинается так: 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … и занесена в базу OEIS под номером A000330.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число уложенных слоёв \(n\) (целое неотрицательное число), и калькулятор выдаст \(P(n)\) — общее количество шаров во всей пирамиде. Этот инструмент пригодится для задач про укладку пушечных ядер, для расчёта витрин с апельсинами или другими фруктами, для школьных и студенческих упражнений по теории чисел, а также всякий раз, когда нужно быстро найти сумму первых \(n\) квадратов.
Разбираем формулу
По определению \(P(n)\) — это сумма первых \(n\) квадратов: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\). Для этой суммы есть изящная замкнутая формула:
$$P = \frac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)\left(2\,\text{n}+1\right)}{6}$$
Произведение \(n(n + 1)(2n + 1)\) всегда делится на 6, поэтому для любого целого \(n\) результат получается ровным целым числом. Значение \(P(0) = 0\) соответствует пустой пирамиде, а отрицательное число слоёв физического смысла не имеет (здесь оно принимается равным 0).
Пример расчёта
Допустим, вы складываете 4 слоя. Складываем квадраты: \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\). По замкнутой формуле:
$$4 \times 5 \times 9 / 6 = 180 / 6 = 30 \text{ шаров.}$$Проверим на числе побольше: при \(n = 10\) получаем
$$10 \times 11 \times 21 / 6 = 2310 / 6 = 385 \text{ шаров.}$$Часто задаваемые вопросы
Что будет при n = 0? \(P(0) = 0\) — это пустая пирамида без единого шара.
Может ли n быть дробным? Формально замкнутая формула посчитает и дробное значение, однако квадратное пирамидальное число имеет физический смысл только для целого неотрицательного числа слоёв.
Насколько быстро растёт значение? При больших \(n\) величина увеличивается примерно как \(n^3\), делённое на 3, поэтому очень высокие пирамиды содержат колоссальное число шаров.
